试题编号：201312-3试题名称：最大的矩形时间限制：1.0s内存限制：256.0MB问题描述： 问题描述 在横轴上放了n个相邻的矩形，每个矩形的宽度是1，而第i（1 ≤ i ≤ n）个矩形的高度是hi。这n个矩形构成了一个直方图。例如，下图中六个矩形的高度就分别是3, 1, 6, 5, 2, 3。 请找出能放在给定直方图里面积最大的矩形，它的边要与坐标轴平行。对于上面给出的例子，最大矩形如下图所示的阴影部分，面积是10。 输入格式 第一行包含一个整数n，即矩形的数量(1 ≤ n ≤ 1000)。 第二行包含n 个整数h1, h2, … , hn，相邻的数之间由空格分隔。(1 ≤ hi ≤ 10000)。hi是第i个矩形的高度。 输出格式 输出一行，包含一个整数，即给定直方图内的最大矩形的面积。 样例输入 63 1 6 5 2 3 样例输出 10
问题链接：CCF201312试题。
问题描述：
首先输入正整数n，接着输入n个正整数表示直方图的一个高度，计算这些直方图中的最大矩形面积。（详见原问题，点击上面的链接）。
问题分析：
解决这个问题有两种方法，一是暴力法（枚举法），任何一个矩形必然始于第i个直方图，终止于第j块直方图（i<=j），从所有这些面积中找出最大矩形面积即可；二是对这n个数只看一遍，就算出最大矩形面积，其计算复杂度为O(n)，相比较而言，算法要复杂一些，还需要付出空间的代价。仔细观察这两个算法有关的程序，会发现其实二者之间算法复杂度的差异很小。
后一种方法的基本思想是先找到一个逐步递增的面积，即如果Hi<Ｈi+1则最大面积是逐步递增的。这个过程中，将这些Hi放入堆栈中，直到不满足Hi<Ｈi+1为止。这个时候，最大的面积可能是最右边是Hi，由若干块（也可能只有１块）拼成的，从中获得一个最大的面积。出现面积非递增时，则把堆栈中比当前高的直方图弹出，重复上述过程，需要说明的是这不影响高的直方图与其右边连成一片。还有一点就是，所有的直方图的高度Hi>=1，这是一个前提，如果有的直方图高度为0，则这个算法需要另外设计。
程序说明：
对于暴力法来说，数据用数组来存储。另外一种数据存储方法是使用STL的包装类vector，可以实现动态数据存储，不受限于数据的多少。
参考链接：（略）
提交后得100分的C++语言程序（复杂度为O(n)算法）如下：
/* CCF201312-3 最大的矩形 */ #include <iostream> #include <stack> using namespace std; const int N = 1000; int h[N+1]; int main() { int n, ans=0, area, temp; // 输入数据 cin >> n; for(int i=0; i<n; i++) cin >> h[i]; h[n] = 0; // 计算最大矩形面积 stack<int> s; for(int i=0; i<=n; i++) { if (s.empty() || h[s.top()] < h[i]) s.push(i); else { temp = s.top(); s.pop(); //弹出 area = h[temp] * (s.empty() ? i : i - s.top() - 1); if (area > ans) ans = area; --i; } } // 输出结果 cout << ans << endl; return 0; }
提交后得100分的C++语言程序（暴力法）如下：
/* CCF201312-3 最大的矩形 */ #include <iostream> using namespace std; const int N = 1000; int h[N]; int main() { int n, ans, height, area; // 输入数据 cin >> n; for(int i=0; i<n; i++) cin >> h[i]; // 计算最大矩形面积：暴力法（枚举法） ans = 0; for(int i=0; i<n; i++) { height = h[i]; for(int j=i; j<n; j++) { if(h[j] < height) height = h[j]; area = (j - i + 1) * height; if(area > ans) ans = area; } } // 输出结果 cout << ans << endl; return 0; }
