Arnold变换+Java实现

一、预备知识

1. Arnold变换概念

Arnold变换是由Arnold提出的一种变换，也称猫变换、猫映射。目前Arnold变换主要用于图像置乱。该变换可以在其它图像处理前对图像做预处理，例如在数字盲水印嵌入前对水印进行置乱。也可以用于普通的图像加密。

2. 正变换

$$\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left[\begin{array}{ll}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right]\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(N)$$

对于规模为NXN的正方形数字图像来说，我们将图像的所有像素集合看作一个NXN的矩阵。在Arnold变换中，设该矩阵中的任意像素位置为$(x,y)$，将像素点$(x,y)$按照某种映射变换到另一点$(x^{\prime },y^{\prime })$。

转换过后，得到如下对应的多项式：

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=(x+y)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(N)\\ y^{\prime }=(x+2y)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(N)\end{array}$$

3. 逆变换

相当于改变变换矩阵，得到：

$$\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right]\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ y_{\prime }\end{array}\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(N)$$

转换为多项式后对应关系： $$\{\begin{array}{l}x=2x^{\prime }-y^{\prime }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(N)\\ y=-x^{\prime }+y^{\prime }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(N)\end{array}$$

当变换矩阵为如上的两种矩阵时，变换被称为狭义的Arnold变换，若变换公式为： $$\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cc}1& a\\ b& ab+1\end{array}\right]\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(N)$$ 或者为： $$\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cc}ab+1& -a\\ -b& 1\end{array}\right]\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(N)$$ 那么此时变换被称为广义的Arnold变换

4. 周期性

Arnold变换具有周期性

对于数字图像而言，我们仅仅是对图像中像素的位置进行了改变而没有改变其值，如果我们对数字图像迭代地使用Arnold变换，即，将输出作为下一次猫映射的输入，那么迭代一定轮数，图像就会出现置乱的效果。

下图是以256X256的lena灰度图像为例，经过192次迭代后，每轮为迭代，图像经过192次变换后恢复了原图像：

二、Java实现

public static void arnoldTransform(File srcImageFile, File desImageFile, int period) { BufferedImage srcImage = null; try { srcImage = ImageIO.read(srcImageFile); } catch (IOException e) { e.printStackTrace(); } int width = srcImage.getWidth(); int height = srcImage.getHeight(); BufferedImage desImage = null; if (width != height) { System.out.println("此图像不符合要求N x N!"); } else { int[][] imageMatrix = new int[height][width]; //获取图像每个像素的RGB值 for(int i = 0; i < height; i++) { for (int j = 0; j < width; j++) { imageMatrix[i][j] = srcImage.getRGB(i, j); } } int N = width; int[][] srcMatrix = imageMatrix; int[][] desMatrix = new int[N][N]; desImage = new BufferedImage(width, height, srcImage.getType()); for (int n = 0; n < period; n++) { if (n != 0) { srcMatrix = desMatrix; desMatrix = new int[N][N]; } for (int i = 0; i < N; i++) { for (int j = 0; j < N; j++) { desMatrix[(i + j) % N][(i + 2 * j) % N] = srcMatrix[i][j]; } } } for (int i = 0; i < N; i++) { for (int j = 0; j < N; j++) { desImage.setRGB(i, j, desMatrix[i][j]); } } } try { ImageIO.write(desImage, "jpg", desImageFile); } catch (IOException e) { e.printStackTrace(); } }