损失函数

原文地址：http://blog.csdn.net/zr459927180/article/details/50750736

目录(?)[-]

一quadratic sigmoid 一定义二收敛特性 二cross entropy sigmoid 一定义二两点特性三收敛特性四含义 三softmax log-likelihood 一softmax二log-likelihood三误差 四conclusion 一sigmoid二softmax 五reference

先上结论：在使用sigmoid作为激活函数的时候，cross entropy相比于quadratic cost function，具有收敛速度快，更容易获得全局最优的特点；使用softmax作为激活函数，log-likelihood作为损失函数，不存在收敛慢的缺点。  对于损失函数的收敛特性，我们期望是当误差越大的时候，收敛（学习）速度应该越快。

一、quadratic + sigmoid

（一）、定义

平方和损失函数定义 

C=(y−a)22 其中 y 是期望输出， a 是实际输出

（二）、收敛特性

不幸的是，使用平方和作为损失函数的神经单元不具备这种性质（参考文献有一个非常直观的例子），具体分析如下：  对于一个神经单元来讲，输入x和对应的输出a的关系满足 

z=wx+b a=δ(z) 根据链式法则，可以求得对应的偏导数  ∂C∂w=(δ(z)−y)δ′(z)x ∂C∂b=(δ(z)−y)δ′(z) 如果激活函数使用的是sigmoid函数的话，根据激活函数的形状和特性可知，当 δ(z) 趋近于0或者趋近于1的时候， δ′(z) 会趋近于0，当 δ(z) 趋近于0.5的时候， δ′(z) 会最大。  比如说，取 y=0 ，当 δ(z)=1 的时候，期望值和实际值的误差 δ(z)−y 达到最大，此时， δ′(z) 会趋近于0，所以就会发生收敛速度慢的问题。

---

二、cross entropy + sigmoid

（一）、定义

为了解决上述收敛慢的问题，引入了交叉熵损失函数 

C=−(ylna+(1−y)ln(1−a))

（二）、两点特性

要想成为loss function，需要满足两点要求：  1. 非负性  2. 预测值和期望值接近时，函数值趋于0  显然，quadratic cost function满足以上两点。cross entropy同样也满足以上两点，所以其可以成为一个合格的cost function。

（三）、收敛特性

对于一个神经单元来讲，输入x和对应的输出a的关系满足 

z=wx+b a=δ(z) 根据链式法则，可以求得对应的偏导数 ∂C∂w   ∂C∂w=δ(z)−yδ(z)(1−δ(z))δ′(z)x 对于sigmoid函数来讲，满足  δ′(z)=δ(z)(1−δ(z)) 所以，上式可化简为  ∂C∂w=(δ(z)−y)x 同理可得 ∂C∂b   ∂C∂b=δ(z)−y 由上面的推导可以看出，sigmoid函数的导数 δ′(z) 被分子和分母约掉，最后的结果是正比于期望值和预测值的差，即为当期望值和预测值相差越大的时候，收敛速度会越快，很好地解决了平方和损失函数的收敛速度慢的问题。

（四）、含义

交叉熵是用来衡量两个概率分布之间的差异。交叉熵越大，两个分布之间的差异越大，越对实验结果感到意外，反之，交叉熵越小，两个分布越相似，越符合预期。下面以离散分布为例讨论。  q(x) 表示估计x的概率分布， p(x) 表示真实x的概率分布，交叉熵定义如下： 

H(p(x),q(x))=H(p(x))+D(p(x)||q(x)) H(p(x)) 表示p(x)的熵，定义如下：  H(p(x))=−∑x∈Xp(x)logp(x) D(p(x)||q(x)) 表示 p(x) 和 q(x) 的KL距离（Kullback-Leibler divergence），也叫作相对熵，定义如下：  D(p(x)||q(x))=∑x∈Xp(x)logp(x)q(x) 由此可得，交叉熵  H(p,q)=−∑x∈Xp(x)logq(x) 对于神经网络的二值输出（0或者1），假设神经网络输出 a 表示是输出1的概率（此时对应的 y=1 ），那么 1−a 表示输出0的概率（此时对应的 1−y=0 ），所以交叉熵可以定义成如下形式：  C=−(ylna+(1−y)ln(1−a))

---

三、softmax + log-likelihood

（一）、softmax

softmax定义如下 

zj=∑kwjkxk+bj aj=ezj∑kezk

（二）、log-likelihood

C=−lnay ay 表示类别y对应的预测概率，如果预测好的话， ay 会趋近于1， C 会趋近于0，反之， ay 趋近于0， C 趋近于极大。

（三）、误差

根据链式法则 

∂C∂wjk=∂C∂aj∗∂aj∂zj∗∂zj∂wjk=−1ajezj∗∑kezk−ezj∗ezj(∑kezk)2xk=(aj−1)∗xk 同理  ∂C∂bj=aj−1 跟上面的cross entropy类似，当 aj 预测不好时，误差会很大，收敛会变快。

---

四、conclusion

（一）、sigmoid

在激活函数使用sigmoid的前提之下，相比于quadratic cost function， cross entropy cost function具有收敛速度快和更容易获得全局最优（至于为什么更容易获得全局最优，个人感觉有点类似于动量的物理意义，增加收敛的步长，加快收敛的速度，更容易跳过局部最优）的特点。  因为我们一般使用随机值来初始化权重，这就可能导致一部分期望值和预测值相差甚远。所以选择sigmoid作为激活函数的时候，推荐使用cross entropy。如果激活函数不是sigmoid，quadratic cost function就不会存在收敛速度慢的问题。

（二）、softmax

对于分类问题，如果希望输出是类别的概率，那么激活函数选择使用softmax，同时使用log-likelihood作为损失函数。

---

五、reference

http://neuralnetworksanddeeplearning.com/chap3.html#the_cross-entropy_cost_function  https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_entropy