【BZOJ 4403】【推公式+Lucas定理】 序列统计

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4403: 序列统计

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Description

给定三个正整数N、L和R，统计长度在1到N之间，元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量。输出答案对10^6+3取模的结果。

Input

输入第一行包含一个整数T，表示数据组数。第2到第T+1行每行包含三个整数N、L和R，N、L和R的意义如题所述。

Output

输出包含T行，每行有一个数字，表示你所求出的答案对106+3取模的结果。

Sample Input

2 1 4 5 2 4 5

Sample Output

25

HINT

提示 【样例说明】满足条件的2个序列为[4]和[5]。 【数据规模和约定】对于100%的数据，1≤N,L,R≤10^9，1≤T≤100，输入数据保证L≤R。

Source

By yts1999

题意：

统计长度在 1 到 N 之间，元素大小都在 L 到 R 之间的单调不降序列的数量。

思路：

（虽然题目很简洁但是公式的推导需要思考一下）

先推公式

设 M=R−L+1   长度为 i ，元素大小在 1...M 之间的单调不降序列的数量有 CM−1i+M−1 个  故答案为  ∑Ni=1CM−1i+M−1   =(∑Ni=1CM−1i+M−1)+CMM−1   =(∑Ni=2CM−1i+M−1)+CMM+1−1   =(∑Ni=3CM−1i+M−1)+CMM+2−1   ...   =CMN+M−1   然后Lucas定理直接上就行了

公式推导的解释：假设序列长度为n，区间为[l,r]，首先求出这一段的答案。

对于任意一个序列，将第i个数+i，那么原来的问题就转化为了n个在[l+1,r+n]区间以内的单调递增的序列的个数。后者又相当于在[l+1...r+n]这r-l+n个数中取n个的方案数，即为C(r-l+n,n)=C(r-l+n,r-l)

所以，答案就相当于C(r-l+1,r-l)+C(r-l+2,r-l)+...+C(r-l+n,r-l)=C(r-l+n+1,r-l+1)-C(r-l,r-l)=C(r-l+n+1,n)-1。

由于模数不是很大，所以后面的答案是很容易得出的。如果知道lucas定理，会更简单一点。

不预处理会超时。

PS:lucas 定理用来计算组合数模素数。如果素数P可以先确定，则可以 O(P) 预处理，每次计算时间复杂度为 O(logpN) ，不预处理的时间复杂度O(mlogp)。

代码：

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int mod=1e6+3; ll fac[mod],inv[mod]; void Pretreatment(){//预处理 int i; for(fac[0]=1,i=1;i<mod;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod; for(inv[1]=1,i=2;i<mod;i++) inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod; for(inv[0]=1,i=1;i<mod;i++) (inv[i]*=inv[i-1])%=mod; } ll C(int n,int m){ if(n<m) return 0; if(n<mod && m<mod) return fac[n] * inv[m] % mod * inv[n-m] % mod ; return C(n/mod,m/mod) * C(n%mod,m%mod) % mod ; } int main(){ int t; ll n,l,r; scanf("%d",&t); Pretreatment(); while(t--){ scanf("%d%d%d",&n,&l,&r); int m=r-l+1; printf("%d\n",(C(n+m, m)-1+mod)%mod); } return 0; }