计算机视觉—相机标定

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0、预备知识

       下图基本展示了一些重要的概念：点 O 与Xc,Yc,Zc三个轴组成的坐标系为 相机坐标系，其中，原点 O 为相机光心，Zc为相机的光轴，光轴和成像平面 xO1y 垂直，且光轴与成像平面的交点为图像的 主点 O1 ， OO1 为相机的焦距 f ，XcOYc 平面和成像平面平行。世界坐标系是为了描述相机的位置而引入的，下图中，点 Ow 与 Xw,Yw,Zw 三个轴组成的坐标系即为 世界坐标系。点 O1 与 x,y 两个坐标轴组成的坐标系为 图像物理坐标系，也即成像平面坐标系。 此图来自网络，非作者原创，若侵犯到您的权益，请留言，以便标明出处，谢谢

1、世界坐标系 → 相机坐标系

       设 (Xw,Yw,Zw) 表示世界坐标系中的点， (Xc,Yc,Zc) 表示相机坐标系中的点，则世界坐标系到相机坐标系的变换，其实就是一个刚体变换，可以由旋转矩阵 R 和平移矩阵 t 来表示， R⎡⎣⎢⎢XwYwZw⎤⎦⎥⎥+t=⎡⎣⎢⎢XcYcZc⎤⎦⎥⎥ 其中， R 为 3x3 的旋转矩阵， t 为 3x1 的平移向量。化为齐次坐标形式 [R3x301x3t3x111x1]⎡⎣⎢⎢⎢⎢XwYwZw1⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢XcYcZc1⎤⎦⎥⎥⎥⎥

2、相机坐标系 → 理想图像物理坐标系（成像平面坐标系）

       设 (x,y) 是图像物理坐标系中的点， 由于点 (Xc,Yc,Zc) 和相机坐标系的原点（相机光心）之间的连线，穿过图像物理坐标系所在的平面，因此，由相似三角形可得 Xcx=Zcf,Ycy=Zcf 进一步整理可得 [f00f][XcYc]=Zc[xy] 化为齐次坐标形式 ⎡⎣⎢⎢f000f0001000⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢XcYcZc1⎤⎦⎥⎥⎥⎥=Zc⎡⎣⎢⎢xy1⎤⎦⎥⎥

3、图像物理坐标系 → 图像像素坐标系

       以图像的左上角为原点建立图像像素坐标系 (u,v) ，并且让 u 轴与 x 轴平行， v 轴与 y 轴平行。设图像物理坐标系的原点 O1(0,0) 在 uv 坐标系中对应的坐标为 (u0,v0) ， 单位像素在 x 轴和 y 轴方向的物理尺寸分别为 dx 和 dy ，则有 u−u0=xdx,v−v0=ydy 进一步整理可得 [uv]=⎡⎣⎢⎢⎢1dx001dy⎤⎦⎥⎥⎥[xy]+[u0v0] 化为齐次坐标形式 ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢1dx0001dy0u0v01⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢xy1⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢uv1⎤⎦⎥⎥

4、结论

       将相关矩阵相乘，便可以得到三维空间点坐标到图像像素坐标的映射 Zc⎡⎣⎢⎢uv1⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢1dx0001dy0u0v01⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢f000f0001000⎤⎦⎥⎥[R3x301x3t3x111x1]⎡⎣⎢⎢⎢⎢XwYwZw1⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢α000β0u0v01000⎤⎦⎥⎥[R3x301x3t3x111x1]⎡⎣⎢⎢⎢⎢XwYwZw1⎤⎦⎥⎥⎥⎥=M1M2⎡⎣⎢⎢⎢⎢XwYwZw1⎤⎦⎥⎥⎥⎥ 其中， M1 为相机的内参数， M2 为相机的外参数，包括旋转和平移矩阵。