A(Bx)=(AB)x A+B=B+A A+0=0 (r+s)A=rA+sA r(sA)=(rs)A r(A+B)=rA+rB A(BC)=(AB)C A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA r(AB)=(rA)B=A(rB) ImA=A=AIn 一般情况下 AB≠BA AB=AC 不能得到 B=C AB=0 不能得到 A=0或B=0 (A+B)T=AT+BT (rA)T=rAT (AB)T=BTAT 注意 (AB)T≠ATBT AA−1=I 且 A−1A=1 (A−1)T=(AT)−1 (AB)−1=B−1A−1
============================三种理解矩阵的方法====================== 有三种理解矩阵的方法：作为线性方程组，向量方程和矩阵方程。
线性方程组 a11x1+a12x2+a13x3=b1 a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3 可写成
⎡⎣⎢⎢a11x1a21x1a31x1a12x2a22x2a32x2a13x3a23x3a33x3⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢b1b2b3⎤⎦⎥⎥定义该方程的增广矩阵[Ab]， A=⎡⎣⎢⎢a11a21a31a12a22a32a13a23a33b1b2b3⎤⎦⎥⎥ 即将b作为系数矩阵A的最后一列。对增广矩阵[Ab]，可对其进行行初等变换操作：1，倍加变换 2，对换变换 3，倍乘变换。
阶梯形矩阵和简化行阶梯形： 阶梯形矩阵： 1、每一非零行在每一零行之上 2、某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右面 3、某一先导元素所在列下方元素都是零
简化行阶梯形： 1、阶梯形矩阵的要求 2、每一非零行的先导元素是1 3、每一先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素
主元位置和主元列： 对于阶梯形矩阵，主元位置对应于先导元素的位置，主元列是含有主元位置的列
x1a1+x2a2+x3a3+⋯+xnan=b
定义span{v}是所有v的线性集合，则解 x1a1+x2a2+x3a3+⋯+xnan=b 就是要判断b是否属于 span{a1,a2,a3,…,an}
定义 Ax=b ， A=⎡⎣⎢⎢a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎤⎦⎥⎥ ， x=⎡⎣⎢⎢x1x2x3⎤⎦⎥⎥ ， b=⎡⎣⎢⎢b1b2b3⎤⎦⎥⎥ ，其中A是该方程的系数矩阵，x是未知向量，b是已知向量。整体：
⎡⎣⎢⎢a11x1a21x1a31x1a12x2a22x2a32x2a13x3a23x3a33x3⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢b1b2b3⎤⎦⎥⎥矩阵方程可以理解为矩阵对向量的操作。 Ax=b 可以理解为矩阵A将向量x变成b。那么矩阵是怎么样对向量操作的？ 基的变换： 设 B={b1,b2…bn} 和 C={c1,c2…cn} 是向量空间V的基，则存在一个n×n矩阵P，使得
[x]c=P[x]b P的列是基B中向量的C坐标向量，即 P=[[b1]c [b2]c …[bn]c] 例如： 矩阵 P=[41−61] 定义的基的变换是： b1=4c1+c2 和 b2=−6c1+c2 ，即矩阵P的两列 也可以这么写： c1=b1−b210 和 c2=3b1+2b25假如定义基B， b1={1,0},b2={0,1} ，那么基C也就确定了， c1={0.1,−0.1},c2={0.6,0.4} 那么点 pB(2,2)=2b1+2b2=−4c1+4c2 ,即在b坐标系中点P的坐标是(2,2)，在c的坐标系中点 pc 的坐标是(-4,4)，不信自己画图，我是画了的。
必须明确，若我们知道了两个基，则可以确定变换矩阵。若我们知道了变换矩阵，则我们只能知道基的变换规则，而不能确定基。也就是说，与矩阵对应的变换基对有无限多组。 还有一点，画非正交坐标系的图时，点在某一轴的坐标，是过点做其他轴的平行线与该轴的交点，而不是过点做该轴的垂线。 以上是矩阵如何操作向量。
Ax=0
齐次方程是指 Ax=0 这样的方程，当且仅当方程至少有一个自由变量，即有无穷个解，该齐次方程有非平凡解。
当且仅当矩阵方程 Ax=0 仅有平凡解，矩阵A各列线性无关。即 x1a1+x2a2+…xpap=0 仅有平凡解时， a1,a2…ap 线性无关。线性无关是指任意向量不能被其他的向量线性合成，但不要求正交。
若一个向量组的个数超过向量元素个数，则这个向量组线性相关。
若向量组包含零向量，则它线性相关。
注意，以上内容都在说明同一种形式的方程组 Ax=b
==========================关于矩阵的逆============================= 注意：以上内容是在讨论方程，而这一小节，矩阵的逆仅仅讨论矩阵本身，因此，对矩阵进行初等行变换操作时，会导致矩阵改变 若A是可逆n*n矩阵，则对每一 Rn 中的b，方程 Ax=b 有唯一解。即该矩阵A可以让x和b有一对一的映射。
关于矩阵的逆，下列条件是等价的: A是一个n*n的可逆矩阵 A等价于单位矩阵 A有n个主元位置 方程Ax=0仅有平凡解 A的各列线性无关 A的各行线性无关 线性变换x-Ax是一对一的 Ax=b至少有1个解 A的各列生成 Rn A的列向量构成 Rn 的一个基 dim Col A = n rank A = n Nul A = {0}
矩阵A的列空间是A的各列的线性组合的集合，记作 Col A
矩阵A的零空间是齐次方程Ax=0的所有解的集合，记作 Nul A
Rn 中子空间H的一组基是是H中一个线性无关集，他生成H
矩阵A的主元列构成列空间的一组基
非零子空间H的维数 dimH ，是H任意一组基的向量个数。零子空间 {0} 的维数为零
矩阵A的秩 rank A 是A的列空间的维数
如果一个矩阵A有n列，则rank A+dim Nul A = n
对矩阵的逆的理解： 矩阵的逆把对矩阵的三种理解（线性方程组，向量方程和矩阵方程）联系起来。
若A是n*n可逆矩阵，A的各列和各行都是线性无关的，A的信息量是充分的，A能完成向量一对一的映射，A的主元列数量是n，A是满秩的，方程Ax=0仅有平凡解，A的各列生成 Rn ，Ax=b至少有1个解，等价于单位矩阵。
若A是n*n的不可逆矩阵，则A的行是线性相关的（若将A看成线性方程组），列也是线性相关的（若将A看成向量方程），不能完成向量的一对一映射，信息量是缺损的。
通常x->Ax有可能是向量x往各方向移动，但通常也会有特殊的向量，A对这些向量的作用是很简单的， Ax=λx ，即矩阵A对x的操作仅仅是把向量x延长或缩短了 。 回忆前面说的，n*n的矩阵A对向量x的操作可以理解为两组基的变换，那么如果将A的特征向量作为一组基，那么变换是怎样的？ 答案是变换的另一组基依然是特征向量，也就是说变换前后基是不变的，详细一点的描述是这样的：矩阵A对向量x的操作，如果将矩阵A的特征向量作为第一组基B来表示向量x，那么向量x经过A变换后，依然用特征向量作为基B来表示，大小变为原来的 λ 倍，这是另一种理解矩阵是如何操作向量的方法
