【51nod 1244】 莫比乌斯函数之和

Description

莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)（miu(n)）作为莫比乌斯函数的记号。具体定义如下： 如果一个数包含平方因子，那么miu(n) = 0。例如：miu(4), miu(12), miu(18) = 0。 如果一个数不包含平方因子，并且有k个不同的质因子，那么miu(n) = (-1)^k。例如：miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10) = 1。

给出一个区间[a,b]，S(a,b) = miu(a) + miu(a + 1) + …… miu(b)。 例如：S(3, 10) = miu(3) + miu(4) + miu(5) + miu(6) + miu(7) + miu(8) + miu(9) + miu(10)= -1 + 0 + -1 + 1 + -1 + 0 + 0 + 1 = -1。

Solution

觉得和之前做的一道51nod 1239 欧拉函数之和很像,同样有以下性质：

(n=1)∑d|nμ(i)==1 (n>1)∑d|nμ(i)==0 然后这道题就好解了。 f(n)=∑i=1nμ(i)=∑i=1n∑d|iμ(i)−∑i=1n∑d|i,d<iμ(i) 好像一句废话…… f(n)=∑i=1n∑d|iμ(i)−∑i=1n∑d|i,d<iμ(i)=1−∑i=1n∑d|i,d<iϕ(i) 设T=id，因为要满足d|i,d<i，所以T>1且为整数 f(n)=1−∑T=2n∑d=1n/Tμ(⌊nd⌋)=1−∑T=2nf(⌊nd⌋) 最后分块一下，用哈希表判重就好了。但是，这还是不行，我们还要预处理一下前10^6的答案，这样就解决了。

Code

#include<iostream> #include<math.h> #include<string.h> #include<stdio.h> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll maxn=7.8e6+5,maxn1=1e6+5; int f[maxn],bz[maxn1+5],d[maxn1],p[maxn+5]; ll h[maxn],n,i,t,j,k,l,x,y,z,ans; int hash(ll x){ ll t=x%maxn; while (h[t]&& h[t]!=x) t=(t+1)%maxn; return t; } int dg(ll n){ if (n<=maxn1) return p[n]; ll i=2,t;int k=1,l=hash(n); if (h[l]) return f[l]; while (i<=n){ t=n/(n/i); k=k-(t-i+1)*dg(n/i);i=t+1; } h[l]=n;f[l]=k;return k; } int main(){ //freopen("data.in","r",stdin); p[1]=1; for (i=2;i<=maxn1;i++){ if (!bz[i]) d[++d[0]]=i,p[i]=-1; for (j=1;j<=d[0];j++){ if (i*d[j]>maxn1) break; bz[i*d[j]]=1; if (i%d[j]==0) break; else p[i*d[j]]=-p[i]; } } for (i=1;i<=maxn1;i++) p[i]+=p[i-1]; scanf("%lld%lld",&x,&y); ans=dg(y)-dg(x-1); printf("%lld\n",ans); }