向一个水箱注水，那么水平面将上升。为了描述水平面上升的快慢，我们用水平面变化率或者等价的，深度的变化率。如果水深用 h 表示，t表示时间，那么导数 dh/dt 就是深度的变化率。更进一步，水箱中水的体积 V 也在变化，dV/dt是体积的变化率。
同样地，任何随时间变化的几何或物理量 Q 是时间函数，即Q=Q(t)，它的导数 dQ/dt 是变化率。我们现在考虑的问题基于以下事实：如果两个变化量互相相关，那么他们的变化率也相关。
例1：往球形气球中以恒定的速度 8 ft3/min 注入气体。(a)当 r=2 ft 时，球半径 r 增加的速度；(b)当r=4 ft时，求半径 r 增加的速度。
解：球的体积(图1)公式 如下 V=43πr3(1)
图1 根据问题的陈述我们知道 dV/dt=8 ，我们需要两个特定 r 值对应的dr/dt。我们需要理解问题的背景，即 V,r 都是因变量， t 是潜在的自变量。有了这个想法，很自然想到(1)两边对t求导可得到 V,r 的变化率 dVdt=43π⋅3r2drdt=4πr2drdt(2) 其中用到了链式法则。根据 dV/dt=8 ，对(2)变形得 drdt=14πr2dVdt=2πr2 所以对于情况(a) drdt=12π≅0.16 ft/min 对于情况(b) drdt=18π≅0.04 ft/min 这些结果证实了我们的常识。因为球的体积以恒定的速度增加，随着体积的增大，半径增加的会越来越慢。例2：一个 13 ft 长的梯子斜靠着墙。梯子的底端以恒定的速度 6 ft/min 远离墙面。问：当梯子的底部离墙 5 ft 时，顶部向下移动有多快？
解：第一步是画出图像并标出相关量，注意用字母来表示变化的量(图2)。通过图就能看出哪些是已知的，哪些是未知的：
dxdt=6,−dydt=?when x=5 图2 这里的负号我们可以这么理解， dy/dt 表示 y 增加的速率，−dy/dt表示 y 减小的速率。粗略地讲，我们知道了一个关于时间的导数，现在想知道另一个。因此我们需要找到连接x,y的等式，通过对 t 求导得到连接他们变化率的等式。从图中可以清楚的看到可以应用毕达哥拉斯定理 x2+y2=169(3)两边分别对 t 求导得 2xdxdt+2ydydt=0ordydt=−xydxdyor−dydt=xydxdt因为 dx/dt=6 ，所以 −dydt=6xy(4) 利用等式(3)，当 x=5 时， y=12 ，代入(4)得到我们的结果 −dydx=6⋅512=212 ft/min 警告：不要过早的使用 x=5,y=12 。问题的本质是 x,y 为变量；如果早早地使用具体值，如图3，那么我们不可能理解或解决问题。 图3 例3：一个锥形的水箱高为 12 ft ，最高处的直径为 12 ft 。水以 4 ft3/min 的速度注入水箱中。问：(a)当水深为 2 ft 时，水面上升的速率是多少；(b)当水深为 8 ft 时，速率又是多少。解：跟之前一样，我们画出图像并标注已知和未知量(图4)。下一步是使用这些符号描述已知条件和我们要找的量：
dVdt=4,dxdt=? when x=2 andx=8 水箱中变化的体积 V 是锥形，所以利用锥形体积公式 V=13πy2x(5)我们关注的变量是 V,x ，所以我们希望消去 y 。观察图4，利用相似三角形的性质得 yx=612=12ory=12x(6)将它代入(5)得 V=π12x3(7) 现在(7)两边分别对 t 求导得 dVdt=π4x2dxdt(8)或者因为 dV/dt=4 dxdt=4πx2dVdt=16πx2 这个式子告诉我们，当 x=2 时 dxdt=4π≅1.27 ft/min 当 x=8 时 dxdt=14π≅0.08 ft/min 至此问题解决。 图4 下面总结一下这些例题产生的方法： 求解有关速率问题的策略 1. 认真读问题，如果有必要就多读几遍，直到完全理解题意。 2. 根据题意认真作图。将已知的常数量标注出来，对变量用字母进行标注。 3. 以导数的形式写出已知的变化率和要求的变化率。 4. 找出第3步里连接两个变量的等式，如果需要的话可以使用几何知识来消去多余的变量。利用链式法则，等式两边分别对 t <script type="math/tex" id="MathJax-Element-67">t</script>求导。 5. 将第3步已知的变化率代入到第4步求得的微分等式中，解得所求的变化率。