题目地址：http://poj.org/problem?id=3696
思路来源：1，2，3，4
关键是推公式：
（10^x-1）/9*8=L*k, ->(10^x-1)*8=9*L*k ->(10^x-1)*8/gcd(9*L,8)=9*L/gcd(9*L)*k 而8/gcd(9*L,8)与9*L/gcd(9*L,8)互质，因为他们除掉了gcd ->9*L/gcd(9*L,8)|(10^x-1) 因为8/gcd(9*L,8)与9*L/gcd(9*L,8)互质，且因为k为整数，所以9*L/gcd(9*L,8)|(10^x-1)肯定能整除 ->(10^x-1)=9*L/gcd(9*L,8)*k' 令q=9*L/gcd(9*L,8) ->(10^x-1)=q*k' ->(10^x-1)=0 (mod q) ->10^x=1 (mod q) 若同余式有解，则10^(x-1)*10=1 (mod q) 又因为[10^(x-1)mod q ]*(10mod q)=1，所以10mod q=1 ，即gcd(10,q)==1 ，无解就是gcd(10,q)!=1。
于是变为求10^x=1 (mod q)中的x值
又根据欧拉定理 gcd(a,b)==1可得到a^φ(b)≡1(mod b) 所以10^φ(q)≡1(mod q) 即结论： 10^x ≡1 (mod n) 则成立的最小 x 是φ(n)的约数最小的解为φ(q)的因子
证明如下： 设k不是φ(n)的约数 10^k≡1(modn) 假设gcd(k,φ(n))=s，必然有一个数a，a是k的倍数，a+s是φ(n)的倍数。 10^a≡10k≡1(modn) 10^(a+s)≡10φ(n)≡1(modn) 所以10^s≡1(modn)
而k不是φ(n)的约数，s是φ(n)的约数，s又是k的约数 所以s＜k。而若k是符合要求的，则必然有一个更小的s。 所以答案一定是φ(n)的约数。
所以只要求出L的欧拉函数值，再枚举φ(L) 的因数，并从小到大验证10^x=1 (mod q) 便能得出答案
#所以凡是那种1111111..... 2222222..... 33333.....
之类的序列都可用这个式子来表示： k*(10^n-1)/9
再用类似上述方法转化
此题还要注意快速幂会溢出long long类型
代码如下：
#include<iostream> #include<cmath> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<vector> using namespace std; typedef long long LL; LL gcd(LL a,LL b) { if(b==0) return a; return gcd(b,a%b); } LL euler_phi(LL n) { LL res=1; for(LL i=2;i*i<=n;i++) if(n%i==0) { //说明i|n n/=i,res*=i-1; while(n%i==0) n/=i,res*=i; //说明i^2|n } if(n>1) res*=n-1; return res; } LL Mul(LL a,LL b,LL p) //a*b(mod p) 改为加法，防止溢出 { LL result=0; while(b) { if(b & 1) result=(result+a)%p; a=(a+a)%p; b>>=1; } return result; } LL PowMod(LL x,LL n,LL p) //x^n 对Max取模 { LL result=1; LL base = x%p; while(n>0) { if(n & 1) result=Mul(result,base,p); //当二进制不为0时，就要乘个 base=Mul(base,base,p); //累乘此时二进制的权值 n>>=1; } return result; } int main() { int kase=0,L; while(cin>>L&&L) { LL q=9LL*L/gcd(8,L); if(gcd(10,q)!=1) printf("Case %d: %d\n",++kase,0); else { LL e=euler_phi(L); vector<LL> v; for(LL i=1;i*i<=e;i++) if(e%i==0) { //求欧拉函数φ(L)的因数 v.push_back(i); v.push_back(e/i); } sort(v.begin(),v.end()); //从小到大排序 for(LL i=0;i<v.size();i++) if(PowMod(10,v[i],q)==1) { //枚举验证 printf("Case %d: %d\n",++kase,v[i]); break; } } } return 0; }
