动态规划 0-1背包问题

问题描述：

给定N种物品和一个背包。物品i的重量是W_i,其价值位V_i ，背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？？

在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能讲物品i装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。 

 

问题分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:

(1)   V(i,0)=V(0,j)=0 

(2)   V(i,j)=V(i-1,j)  j<w_{i  如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包}

       V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-w_i)+v_i) } j>w_{i 如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-wi 的背包中的价值加上第i个物品的价值vi; (b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。}

_代码：

#include <iostream> using namespace std; int findMaxValue(int weight[],int value[],int n,int m){ int res; int a[n+1][m+1]; for(int i=0;i<m+1;i++) a[0][i] =0; for(int i=0;i<n+1;i++) a[i][0] = 0; for(int i=1;i<n+1;i++){ for(int j=1;j<m+1;j++){ if(j<weight[i-1]) a[i][j] = a[i-1][j]; else a[i][j] = max(a[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1],a[i-1][j]); } } return a[n][m]; } int main() { int n,m; cin>>n>>m; int weight[n]; int value[n]; for(int i=0;i<n;i++) cin>>weight[i]>>value[i]; cout<<findMaxValue(weight,value,n,m); return 0; }