分块算法讲解

    xiaoxiao2025-01-21  11

    分块

    先简单介绍一下分块算法。 分块算法是一种很常见的根号算法,一般它的时间复杂度会带根号。 分块和线段树的区别在于,分块算法可以维护一些线段树维护不了的东西,例如单调队列等,线段树能维护的东西必须能够进行信息合并,而分块则不需要。不过,它们也有共同点,分块和线段树一样,分块需要支持类似标记合并的东西。 简单来说,分块算法就是优化过后的暴力。

    现在讲一下这种算法的实现。 这种算法会将序列(序列长度为 N )进行分块,通常设置一个上限K,每一块有至多 K 个元素。在序列分块问题上,一般会严格要求每个块都要有K个元素,这样就会分成约 NK 块。(最后一个块除外)

    我们一般都会设 K =N,这样块数也就只有 NK = N 块数可能多一。 通常实现时,我们用 bei 表示第i个位置所属的块。对于每个块都进行信息维护。

    单点修改时,我们一般先将对应块的标记下传,再暴力更新被修改块的状态。 时间复杂度 O (n)。

    如果是区间[ L ,R]修改的话,对于被[ L ,R]整块跨过的块直接打标记,两端剩余的部分暴力重构块的状态即可。 中间最多经过 n 块,两边暴力修改也是 n 次的,所以时间复杂度为 O (n)。

    至于询问操作,和区间修改类似,对于中间跨过的整块,直接利用块保存的信息统计答案,两端剩余部分任然可以暴力扫描统计。 时间复杂度和区间修改一样,也是 O (n)。

    如果询问次数为 m ,那总的时间复杂度即为O( mn )。

    这就是最简单的分块思想,虽然思路很简单,但实现起来,本人觉得有点复杂。

    例题: BZOJ 2002 Bounce 弹飞绵羊 [Hnoi2010] 网址:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2002 这是我写的题解:http://blog.csdn.net/xianhaoming/article/details/52201214

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