这两个式子相等吗?

    xiaoxiao2025-02-04  15

    背景

    数的表示真是奇妙的事情。奇妙到何种程度?

    1、为了表示一些难以表示的数或函数,引入了很多特殊函数;当用初等函数无法表示某些函数的解析形式时,就不成为closed form的解; 2、最大的大招应该在于,为了研究一些数的表示,不断拓展人类认识中的数学的疆界:好像有人死于无理数的发现,以及群论似乎就是这么诞生的。

    对高大上的结果和结论,关注的能力有限,更喜爱和陶醉于一些小技巧。比如下面的用虚数单位 I 表示某些难以化简的复杂实函数的例子,非常漂亮诡异。

    1、比如居然可以这样,arctanx=12iln(1+ix1ix); 2、以及可以, R[2tan1xi]=12tan12x1x2

    R[2tan1xi]=R[2tan1xeiπ/4]=(2tan1xeiπ/4)+(2tan1xeiπ/4)2=12(tan1xeiπ/4+tan1xeiπ/4)=12tan1xeiπ/4+xeiπ/41xeiπ/4xeiπ/4=12tan12xcosπ41x2=12tan12x1x2

    其中一个推导, 23 使用了两个角之和的正切公式 tan(x+y)=tanx+tany1tanxtany .

    问题

    假设 u>0 ,那么下面两个式子是否相等?——这个相等关系意味着,表示某些实数(实函数)的解析形式的时候,如果扩展一下实数表达的领域(比如引入了虚数单位),那么,解析形式的结果有可能得到简化。

    第一个:

    1212+12((21)(ln(u2(1+2)u+2)ln(u+2(1+2)u+2))2arctan(2(1+2)u+2+1)+2arctan(2(1+2)u+2+1)2π)(1)

    第二个:

    1+iarctan(2(1+i)u)+1iarctan(1)3/4(1i)uu(2)

    当然是希望相等。如何证明?

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