1. Problem Description
Given a non-negative integer num, repeatedly add all its digits until the result has only one digit.
For example:
Given num = 38, the process is like: 3 + 8 = 11, 1 + 1 = 2. Since 2 has only one digit, return it.
Follow up:
Could you do it without any loop/recursion in O(1) runtime?
给一个数字，一直求它的各位和，直到这个数字小于10为止。
2. My solution1（Loop）
直接模拟过程，其中wei是求各位和函数。
class Solution {
public:
int wei(int num)
{
int ans=0;
while(num>0)
{
ans+=num%10;
num/=10;
}
return ans;
}
int addDigits(int num) {
int tmp=num;
while(tmp>=10)
tmp=wei(tmp);
return tmp;
}
};
3. My solution2（O[1]算法）
class Solution
{
public:
int addDigits(int num)
{
if(num==0) return 0;
if(num%9==0) return 9;
else return num%9;
}
};
接下来我们将利用已知定理证明：
已知：
①( a + b ) % x =a % x + b % x
②递归重复求解一个x进制数num的各位之和，最终一定得到一个（0~x-1）之间的数
可得：
①一个n位x进制数num的各位之和对（x-1）取余，与这个数num本身对（x-1）取余的答案相同。
②递归重复求解一个x进制数num的各位之和对（x-1取余），与这个数num本身对（x-1）取余的答案相同。
证明：
任何一个10进制数num，都可以表示成这样一个多项式和，如4位数。
这里以2369为例。
8765=8+7+6+5+8*999+7*99+6*9+5*0
我们知道这个式子中右边的部分8*999+7*99+6*9+5*0一定可以被9整除，他们对9取余得到0。
又已知存在定理：
①( a + b ) % x =a % x + b % x
也就是说：
8765 % 9 =（8+7+6+5）% 9 +（8*999+7*99+6*9+5*0）% 9 =（8+7+6+5）% 9 ……………①
8765% 9 = 26 % 9 = 8
于是我们得到一个新的结论：
一个n位x进制数num的各位之和对（x-1）取余，与这个数num本身对（x-1）取余的答案相同。
现在我们想要知道这个数各位一直求和得到的0~9之间的数是多少，就将其对9取模即可。
所以得到return num%9就可以了。但是当num=9的倍数时，最后一步将得到9；当num=0时，又会得到0，需要特殊判定一下。
if(num==0) return 0;
if(num%9==0) return 9;
else return num%9;
网上总结出的公式，也可以直接：
return （num-1）%9+1
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