在无向连通图中，删除一个顶点v及其相连的边后，原图从一个连通分量变成了两个或多个连通分量，则称顶点v为割点，同时也称关节点(Articulation Point)。一个没有关节点的连通图称为重连通图(biconnected graph)。若在连通图上至少删去k 个顶点才能破坏图的连通性，则称此图的连通度为k。
关节点和重连通图在实际中较多应用。显然，一个表示通信网络的图的连通度越高，其系统越可靠，无论是哪一个站点出现故障或遭到外界破坏，都不影响系统的正常工作；又如，一个航空网若是重连通的，则当某条航线因天气等某种原因关闭时，旅客仍可从别的航线绕道而行；再如，若将大规模的集成电路的关键线路设计成重连通的话，则在某些元件失效的情况下，整个片子的功能不受影响，反之，在战争中，若要摧毁敌方的运输线，仅需破坏其运输网中的关节点即可。
(a)中G7 是连通图，但不是重连通图。图中有三个关节点A、B 和G 。若删去顶点B 以及所有依附顶点B 的边，G7 就被分割成三个连通分量{A、C、F、L、M、J}、{G、H、I、K}和{D、E}。类似地，若删去顶点A 或G 以及所依附于它们的边，则G7 被分割成两个连通分量。
暴力的方法：
依次删除每一个节点v 用DFS（或BFS）判断还是否连通 再把节点v加入图中若用邻接表（adjacency list），需要做 V V次DFS，时间复杂度为 O(V∗(V+E)) O(V∗(V+E))。（题外话：我在面试实习的时候，只想到暴力方法；面试官提示只要一次DFS就就可以找到割点，当时死活都没想出来）。
在介绍算法之前，先介绍几个基本概念
DFS搜索树：用DFS对图进行遍历时，按照遍历次序的不同，我们可以得到一棵DFS搜索树，如图(b)所示。 树边：（在[2]中称为父子边），在搜索树中的实线所示，可理解为在DFS过程中访问未访问节点时所经过的边。 回边：（在[2]中称为返祖边、后向边），在搜索树中的虚线所示，可理解为在DFS过程中遇到已访问节点时所经过的边。该算法是R.Tarjan发明的。观察DFS搜索树，我们可以发现有两类节点可以成为割点：
对根节点u，若其有两棵或两棵以上的子树，则该根结点u为割点； 对非叶子节点u（非根节点），若其子树的节点均没有指向u的祖先节点的回边，说明删除u之后，根结点与u的子树的节点不再连通；则节点u为割点。对于根结点，显然很好处理；但是对于非叶子节点，怎么去判断有没有回边是一个值得深思的问题。
我们用dfn[u]记录节点u在DFS过程中被遍历到的次序号，low[u]记录节点u或u的子树通过非父子边追溯到最早的祖先节点（即DFS次序号最小），那么low[u]的计算过程如下：
low[u]={minlow[u], low[v]minlow[u], dfn[v](u,v)为树边(u,v)为回边且v不为u的父亲节点 low[u]={minlow[u], low[v](u,v)为树边minlow[u], dfn[v](u,v)为回边且v不为u的父亲节点
下表给出图(a)对应的dfn与low数组值。
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 vertex A B C D E F G H I J K L M dfn[i] 1 5 12 10 11 13 8 6 9 4 7 2 3 low[i] 1 1 1 5 5 1 5 5 8 2 5 1 1对于情况2，当(u,v)为树边且low[v] >= dfn[u]时，节点u才为割点。该式子的含义：以节点v为根的子树所能追溯到最早的祖先节点要么为v要么为u。
代码实现
void dfs(int u) { //记录dfs遍历次序 static int counter = 0; //记录节点u的子树数 int children = 0; ArcNode *p = graph[u].firstArc; visit[u] = 1; //初始化dfn与low dfn[u] = low[u] = ++counter; for(; p != NULL; p = p->next) { int v = p->adjvex; //节点v未被访问，则(u,v)为树边 if(!visit[v]) { children++; parent[v] = u; dfs(v); low[u] = min(low[u], low[v]); //case (1) if(parent[u] == NIL && children > 1) { printf("articulation point: %d\n", u); } //case (2) if(parent[u] != NIL && low[v] >= dfn[u]) { printf("articulation point: %d\n", u); } } //节点v已访问，则(u,v)为回边 else if(v != parent[u]) { low[u] = min(low[u], dfn[v]); } } }采用邻接表存储图，该算法的时间复杂度应与DFS相同，为 O(V+E) O(V+E)。
[1] see xidian, 图的连通性—关节点和重连通分量. [2] byvoid, 图的割点、桥与双连通分支. [3] GeeksforGeeks, Articulation Points (or Cut Vertices) in a Graph.
