条件概率密度与条件均值

笔者在研究室内定位算法的过程中，有一些论文出现了条件均值。比如$x\sim f(x)$，那么该变量的均值为 $$\mathbb{E}[X]={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$$ 现在需要求解$\mathbb{E}\left[X|x>a\right]$。我们将条件均值进行展开 $$\mathbb{E}\left[X|x>a\right]={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x|x>a)dx$$ 从公式中可以看出，欲求条件均值，需要先得到条件概率密度。笔者翻阅本科概率论的书，发现没有条件概率的求法。那么如何求条件均值呢？如何求条件概率密度呢？条件概率密度$f(x|x>a)$表示，在$x>a$的条件下，$x$的概率密度。下面通过一个例子进行详细推导。

假设随机变量$X\sim E(\lambda )$，即 $$f(x)=\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$$ 概率密度的图像如下

求条件概率密度$f(x|x>a)$。

【思路】 通过求CDF（Cumulative distribution function）$F(x|x>a)$然后对CDF函数求导得到$f(x|x>a)$。具体步骤如下： 讨论： 　　　当$x<a$时，$F(x,a)=F(x<a,x>a)=0$； 　　　当$x>a$时，$F(x>a,a)=F(x>a,x>a)=F(x)$； 　　 因此 $$F(x,x>a)=\{\begin{array}{cc}1-e^{-\lambda x}& x>a\\ 0& x<a\end{array}$$ 由贝叶斯公式 $$F(x|x>a)=\frac{F(x,x>a)}{F(x>a)}$$ 得到$F(x|x>a)$为 $$F(x|x>a)=\{\begin{array}{cc}\frac{1-e^{-\lambda x}}{e^{-\lambda a}}& x>a\\ 0& x<a\end{array}$$ 求导得 $$f(x|x>a)=\{\begin{array}{cc}\frac{\lambda e^{-\lambda x}}{e^{-\lambda a}}& x>a\\ 0& x<a\end{array}$$ 【验证】 $${\int }_a^{+\infty }\frac{\lambda e^{-\lambda x}}{e^{-\lambda a}}\text{d}x=\frac{1}{e^{-\lambda a}}\left[-\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda x}\right]|\begin{array}{c}+\infty \\ a\end{array}=1$$