如果 y=F(x) 是导数已知的函数，例如
ddxF(x)=2x(1) 我们能够知道函数 F(x) ？不需要多想我们就能写出符合要求的函数，即 F(x)=x2 。更进一步，添加一个常数不会改变导数结果，所以下面的所有函数 x2+1,x2−3√,x2+5π 或者更一般地 x2+c 其中 c 是常数，都会满足性质(1)。还存在其他的答案吗？答案是没有了。这个答案的理由出自下面的原则：
如果F(x),G(x)是两个函数，并且有相同的导数 f(x) ，那么 G(x),F(x) 只相差一个常数，也就是说，存在一个常数 c ，使得 G(x)=F(x)+c 该结果对区间上的所有 x 均成立。
为了明白为什么这个命题是正确的，我们注意到在区间上G(x)−F(x)的导数为零 ddx[G(x)−F(x)]=ddxG(x)−ddxF(x)=f(x)−f(x)=0 这个差本身肯定是一个常数值 c ，所以 G(x)−F(x)=corG(x)=F(x)+c这就是我们想要建立的内容。
这个原则告诉我们等式 (1) 解的形式肯定是 x2+c 。
刚刚讨论的问题涉及到寻找一个函数，而该函数导数是已知的。如果 f(x) 是已知的，那么函数 F(x) 使得
ddxF(x)=f(x)(2) 叫做 f(x) 的反导，从 f(x) 寻找 F(x) 的过程是求导逆过程。我们已经看到 f(x) 的反导并非是唯一确定的，但是如果我们能够找到一个 F(x) ，那么所有其他的形式就是 F(x)+c 例如， 13x3 是 x2 的一个反导，那么所有 x2 反导的可能形式为 13x3+c因为历史原因， f(x) 的反导通常叫做 f(x) 的积分，反微分叫做积分。 f(x) 积分的标准符号为
∫f(x)dx(3) 读作 f(x)dx 的积分。等式 ∫f(x)dx=F(x) 完全等价于 (2) 。函数 f(x) 叫做被积函数。 (3) 中细长的 S 符号叫做积分符号，最早由莱布尼兹引入。为了说明这一点，我们注意到公式 ∫x2dx=13x3and∫x2dx=13x3+c(4)都是正确的，但是第一个只给出了一个积分，第二个给出了所有可能的情况。正因为此，积分 (3) 经常被叫做不定积分，这是相对于定积分而言的(注：关于定积分会在后续的文章里详细介绍)。 (4) 中第二个公式里的常数 c 叫做积分常数，经常引用为任意常数。之前讨论过，为了找到函数f(x)的所有积分，首先找到一个积分比较有效，然后在末尾添加一个任意常数。
我们之前计算过得所有导数下载都可以反过来，重写成积分的形式。例如，对于幂函数
ddxxn=nxn−1becomes∫nxn−1dx=xn 更加方便的版本是 ddxxn+1n+1=xn 它的积分形式为(最好记住它) ∫xndx=xn+1n+1,n≠−1(5) 总结：对幂函数积分，就是指数加1后除以新的指数。例1：求积分：
∫x3dx=x44=14x4,∫x572dx=x573573=1573x573∫dxx5=∫x−5dx=x−4−4=−14x4∫x√dx=∫x1/2dx=x3/232=23x3/2读者应该注意到，当 n=−1 时， (5) 的右边分母变为零，因此没有意义。这时候
∫dxx 的积分是微积分中最重要的一部分，有广泛的应用。后续的文章会详细介绍。下面附加的积分规则是个变相版本
∫cf(x)dx=c∫f(x)dx(6) 以及 ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx(7) 第一个说明常数因子可以从积分号的一边移到另一边。注意这只会适用于常数，不适用于变量 ∫x2dx≠x∫xdx 左右两边分别是 13x3,x⋅12x2=12x3 。公式 (7) 是说和的积分就是各项分别积分的和。对任何有限项均成立。为了证实 (6),(7) ，注意到他们等价于微分形式
ddxcF(x)=cddxF(x) 以及 ddx[F(x)+G(x)]=ddxF(x)+ddxG(x) 其中 (d/dx)F(x)=f(x),(d/dx)G(x)=g(x)例2：将规则 (5),(6),(7) 组合起来，我们可以积分任何多项式。例如
∫(3x4+6x2)dx=3∫x4dx+6∫x2dx=35x5+2x3+c 以及 ∫(5−2x5+3x11)dx=5∫dx−2∫x5dx+3∫x11dx=5x−13x6+14x12+c 观察可以发现 ∫dx=∫1dx=x 。每个计算中都在某位添加了一个任意常数，保证包含了所有可能的积分。例3：我们也能积分许多非多项式的，例如幂函数的线性组合：
∫x2−−√3=∫x2/3dx=35x5/3+c ∫2x3−x2−2x2dx∫5x1/3−2x−1/3x√dx=∫(2x−1−2x−2)dx=x2−x+2x+c=∫(5x−1/6−2x5/6)dx=66x5/6−12x1/6+c公式
∫undu=un+1n+1,n≠=−1(8) 与 (5) 只有一点区别，就是 x 被u替换掉了。然而，我们将 u 看做x的某个函数 f(x) ， u 的微分为du，这样的话 u=f(x) 以及 du=f′(x)dx (8) 就变为 ∫[f(x)n]f′(x)dx=[f(x)]n+1n+1,n≠−1(9) 这是 (5) 更一般的泛化。例4：实际中，我们通常显示地改变变量来使用这个想法，从而将一个复杂的积分变成如 (8) 那样简单的形式。例如
∫(3x2−1)1/34xdx 我们注意到括号内的积分为 6xdx ，与 4xdx 只相差一个常数因子，所以我们写为 uduxdx=3x2+1=6xdx=16du这个方法叫做换元法，因为它通过替换或改变变量来简化问题。正如公式 (9) 那样，该方法之所以成功取决去存在一个积分，被积函数的一部分实质上是另一部分的导数(当然除了常数因子外)。
注解1：例4的积分是有意构造出来似的换元法有效。为了说明这一点，观察一个类似的积分
∫(3x2−1)1/3dx(10) 形式上看着比例4要简单，实际上却是更加复杂了，因为积分项缺少重要的因子 x 。如果我们尝试用之前提到的换元法，我们将得到 ∫(3x2−1)1/3dx=∫u1/3⋅du6x分母中的 x 无法消掉。后面的文章我们会讲到其他方法来解决这种问题，但是目前我们无法继续做下去。注解2：许多人试图将(10)写成 ∫(3x2−1)1/3dx=(3x2−1)4/34/3=34(3x2−1)4/3+c(11) 这是不对的。为了理解为何错误，回顾一下计算积分的时候，我们总是简单的验证结果，如果我们对 f(x) 的积分有所怀疑时，通过计算它的导数看是否等于 f(x) 来进行验证。很明显 (11) 不满足，因为右边的导数是 34⋅43(3x2−1)1/3⋅6x=(3x2−1)1/36x 确实不是 (10) 的积分项。
最后， sin,cos 函数的导数形式可以得出下面的积分形式：
∫cosudu=sinu+c(12) 以及 ∫sinudu=−cosu+c(13) 这些都是许多应用的有力工具，从概率论到声波的传播。例5： (a) 求积分
∫cos3xdx 观察 (12) ，我们看出利用 u=3x 使得 du=3dx,dx=13du ，然后我们可以写出 ∫cos3xdx=∫cosu⋅13du=13∫cosudu=13sinu+c=13sin3x+c (b) 求积分 ∫xsin(1−x2)dx 我们利用 u=1−x2 使得 du=−2x,xdx=−12du ，然后利用 (13) ： ∫xsin(1−x2)dx=∫sinu⋅(−12du)=−12∫sinudu=12cosu+c=12cos(1−x2)+c注解3：从例4和例5中可以看到微分符号在用换元法计算不定积分时极其有用。这个方法对许多学生而言就像一种魔术。为了理解为何它是合法的(数学中不允许有魔术)，将积分形式应用到该方法有效的积分上
∫f[g(x)]g′(x)dx(14) 我们需要做的就是使 u=g(x) ，那么 du=g′(x)dx 。现在 (14) 可以重新写成 ∫f[g(x)]g′(x)dx=∫f(u)du 如果我们对它进行积分，则 ∫f(u)du=F(u)+c 或者 F′(u)=f(u) 然后因为 u=g(x) ， (14) 可以写成 ∫f[g(x)]g′(x)dx=∫f(u)du=F(u)+c=F[g(x)]+c(15) 证明这个过程的一切就是观察到 (15) 是正确的答案，因为利用链式法则 ddxF[g(x)]=F′[g(x)]g′(x)=f[g(x)]g′(x) 链式法则让我们可以利用符号 dx,du 。最后，给出换元法的基本流程：
认真选择 u ，也就是u=g(x)计算 du=g′(x)dx 换元 g(x)=u,g′(x)dx=du 。这时候积分必须只是关于 u 的项，不能存在x。如果不满足，那么重新选择 u 计算步骤3中的积分 用g(x)替换 u ，得到全部关于x的结果