Miller-Rabin质数测试

费马小定理：对于质数p和任意整数a，有a^p ≡ a(mod p)(同余)。反之，若满足a^p ≡ a(mod p)，p也有很大概率为质数。 将两边同时约去一个a，则有a^(p-1) ≡ 1(mod p)

也即是说：假设我们要测试n是否为质数。我们可以随机选取一个数a，然后计算a^(n-1) mod n，如果结果不为1，我们可以100%断定n不是质数。

否则我们再随机选取一个新的数a进行测试。如此反复多次，如果每次结果都是1，我们就假定n是质数。

该测试被称为Fermat测试。需要注意的是：Fermat测试不一定是准确的，有可能出现把合数误判为质数的情况。

Miller和Rabin在Fermat测试上，建立了Miller-Rabin质数测试算法。

与Fermat测试相比，增加了一个二次探测定理：

如果p是奇素数，则 x^2 ≡ 1(mod p)的解为 x ≡ 1 或 x ≡ p - 1(mod p)

如果a^(n-1) ≡ 1 (mod n)成立，Miller-Rabin算法不是立即找另一个a进行测试，而是看n-1是不是偶数。如果n-1是偶数，另u=(n-1)/2，并检查是否满足二次探测定理即a^u ≡ 1 或 a^u ≡ n - 1(mod n)。

举个Matrix67 Blog上的例子，假设n=341，我们选取的a=2。则第一次测试时，2^340 mod 341=1。由于340是偶数，因此我们检查2^170，得到2^170 mod 341=1，满足二次探测定理。同时由于170还是偶数，因此我们进一步检查2^85 mod 341=32。此时不满足二次探测定理，因此可以判定341不为质数。

将这两条定理合起来，也就是最常见的Miller-Rabin测试。

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstring> #include <cstdio> #include <vector> #include <map> #include <cmath> #include <queue> #include <ctime> #define maxn 50005 #define INF 1e18 using namespace std; typedef long long ll; ll solve1(ll a, ll b, ll n){ ll ans = 0; while(b){ if(b&1)(ans += a) %= n; (a <<= 1) %= n; b >>= 1; } return ans; } ll solve2(ll a, ll b, ll n){ ll ans = 1; while(b){ if(b&1) ans = solve1(ans, a, n); a = solve1(a, a, n); b >>= 1; } return ans; } bool is_prime(ll n){ if(n == 2) return true; ll k = n - 1; while(k % 2 == 0) k /= 2; for(int i = 0; i < 2; i++){ ll p = rand() % (n-2) + 2, pre; pre = solve2(p, k, n); for(ll d = k*2; d < n; d *= 2){ p = solve1(pre, pre, n); if(p == 1 && pre != 1 && pre != n - 1) return false; pre = p; } if(p != 1) return false; } return true; } int main(){ //freopen("in.txt", "r", stdin); int t; scanf("%d", &t); while(t--){ ll n; scanf("%lld", &n); if(is_prime(n)) puts("Yes"); else{ puts("No"); } } return 0; }