动态规划——01背包问题

01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。 Pi表示第i件物品的价值。 决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？

题目描述：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

nameweightvalue12345678910a26066991212151515b23033669991011c65000666661011d54000666661010e460006666666

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。

首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。

为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。

对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？

根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，

一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在这里，

 f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6

由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包

#include<stdio.h>   #include<stdlib.h>   #include<iostream>   #include<queue>   #include<climits>   #include<cstring>   using namespace std;   const int c = 10;             //背包的容量   const int w[] = {0,2,2,6,5,4};//物品的重量，其中0号位置不使用 。    const int v[] = {0,6,3,5,4,6};//物品对应的待加，0号位置置为空。   const int n = sizeof(w)/sizeof(w[0]) - 1 ; //n为物品的个数    int x[n+1];   void package0_1(int m[][11],const int w[],const int v[],const int n)//n代表物品的个数    {       //采用从底到顶的顺序来设置m[i][j]的值       //首先放w[n]       for(int j = 0; j <= c; j++)          if(j < w[n]) m[n][j] = 0;     //j小于w[n],所对应的值设为0，否则就为可以放置           else    m[n][j] = v[n];                 //对剩下的n-1个物品进行放置。       int i;       for(i = n-1; i >= 1; i--)           for(int j = 0; j <= c; j++)              if(j < w[i])             m[i][j] = m[i+1][j];//如果j < w[i]则，当前位置就不能放置，它等于上一个位置的值。          //否则，就比较到底是放置之后的值大，还是不放置的值大，选择其中较大者。                          else  m[i][j] = m[i+1][j] > m[i+1][j-w[i]] + v[i]?                     m[i+1][j] : m[i+1][j-w[i]] + v[i];     }   void answer(int m[][11],const int n)   {       int j = c;       int i;       for(i = 1; i <= n-1; i++)           if(m[i][j] == m[i+1][j]) x[i] = 0;           else  {                x[i] = 1;               j = j - w[i];            }           x[n] = m[i][j] ? 1 : 0;    }   int main()   {    int m[6][11]={0};        package0_1(m,w,v,n);    for(int i = 0; i <= 5; i++)    {        for(int j = 0; j <= 10; j++)        printf("%2d ",m[i][j]);        cout << endl;     }     answer(m,n);    cout << "The best answer is:\n";    for(int i = 1; i <= 5; i++)    cout << x[i] << " ";    system("pause");    return 0;   }