为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到m-1的退出 ，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2 并且从k开始报0。 序列1： 0, 1, 2, 3 … n-2, n-1 序列2： 0, 1, 2, 3 … k-1, k+1, …, n-2, n-1 序列3： k, k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, 1, 2, 3,…, k-2, 序列4：0, 1, 2, 3 …, 5, 6, 7, 8, …, n-3, n-2 变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来： ∵ k=m%n; ∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n ∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n 得到 x‘=(x+m)%n 如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式： 令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]. 递推公式: f[1]=0; f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1) 有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。我们输出f[n]由于是逐级递推，不需要保存每个，程序也是异常简单：(注意编号是0 -- n-1)public class JOSEPHUS_Deep { public static void main(String[] args) { int n, m, i, s=0; m=5;n=6; for (i=2; i<=n; i++) { //因为是从两个人开始计算，所以i=2，而不是0 s=(s+m)%i; } System.out.println("The winner is "+(s+1)); } }
开始我看这段文字的时候都没怎么懂，可能是数学太差的原因吧！
后来我就一句一句来看，结合实例：0 1 2 3 4 5 m=5.
移除4过后，的状态变成了：5 0 1 2 3. k=m%n=5
如下表
现在我们把他们的编号做一下转换：
k k-5 k-4 k-3 k-2 X’ 5 0 1 2 3 转换关系 ：X’=(x+k)%n（此例中：n=6） x 0 1 2 3 4于是呢，n个人的问题就变成了n-1个人的问题。
递推公式:
f[1]=0; //就是说如果只有一个人，那么最后的胜利者就是他，他的编号为0
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1) //如果不止一个人，有i个人，那么就需要求出i-1个人的最后胜利的结果f[i-1]，然后呢，利用递推公式x‘=(x+m)%n 就可以知道第i个的最后结果了。
例如：程序中有这样两句：s=0；s=(s+m)%i;
就是说：s=0表示只有一个人的结果。
计算第2个人的结果需要用到第1个人的结果
当i=2,m=5,得到s=1,表示2个人转圈的结果
当i=3，m=5，得到s=0，表示3个人转圈的结果。
最后，由于我们选择6个人转圈编号一般习惯为1 2 3 4 5 6 ，并不是0 1 2 3 4 5 6
所以输出结果需要s+1。
我现在想不懂的是，怎么来确定第i个人的出列编号……它列出是的最后的人！
k --> 0 k+1 --> 1 k+2 --> 2 ... ... k-3 --> n-3 k-2 --> n-2