poj 1811 Prime Test
题意：给定一个64位整数，问是否为质数，如果不是，则输出其最小因子。 Pollard-rho分解的素数会有重复！ 分析： 经典题！！ 数学题 miller_rabbin素数判定。若不是，则pollard_rho分解质因子，找到最小即可。 Miller-rabin Miller-rabin算法是一个用来快速判断一个正整数是否为素数的算法。它利用了费马小定理，即：如果p是质数，且a，p互质，那么a^(p-1) mod p恒等于1。也就是对于所有小于p的正整数a来说都应该复合a^(p-1) mod p恒等于1。那么根据逆否命题，对于一个p，我们只要举出一个a（a<p）不符合这个恒等式，则可判定p不是素数。Miller-rabin算法就是多次用不同的a来尝试p是否为素数。 但是每次尝试过程中还做了一个优化操作，以提高用少量的a检测出p不是素数的概率。这个优化叫做二次探测。它是根据一个定理：如果p是一个素数，那么对于x(0<x<p)，若x^2 mod p 等于1，则x=1或p-1。逆否命题：如果对于x(0<x<p)，若x^2 mod p 不等于1，则p不是素数。根据这个定理，我们要计算a^(p-1) mod p是否等于1时，可以这样计算，设p-1=(2^t) * k。我们从a^k开始，不断将其平方直到得到a^(p-1)，一旦发现某次平方后mod p等于1了，那么说明符合了二次探测定理的逆否命题使用条件，立即检查x是否等于1或p-1，如果不是则可直接判定p为合数。 pollard-rho 这是一个用来快速对整数进行质因数分解的算法，需要与Miller-rabin共同使用。求n的质因子的基本过程是，先判断n是否为素数，如果不是则按照一个伪随机数生成过程来生成随机数序列，对于每个生成的随机数判断与n是否互质，如果互质则尝试下一个随机数。如果不互质则将其公因子记作p，递归求解p和n/p的因子。如果n是素数则直接返回n为其素因子。 至于这个随机数序列是如何生成的暂时还不能理解，而且也是有多种不同的方式。这个序列生成过程中会产生循环，遇到循环则立即退出。
题意：给一个大数2^63，判断是否是素数，不是的话输出它的最小质因子；
思路：Miller-rabin 判素数 算法 和 pollard - rho 分解数的算法的结合
找了一个代码模板，很不错;
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<vector> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn = 1000000 + 10; #define INF 0x3f3f3f3f #define clr(x,y) memset(x,y,sizeof x ) typedef long long ll; #define eps 10e-10 const ll Mod = 1000000007; typedef pair<ll, ll> P; #include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <time.h> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define ll __int64 //**************************************************************** // Miller_Rabin 算法进行素数测试 //速度快，而且可以判断 <2^63的数 //**************************************************************** const int S=20;//随机算法判定次数，S越大，判错概率越小 //计算 (a*b)%c. a,b都是long long的数，直接相乘可能溢出的 /* ll Mult_mod (ll a,ll b,ll c) // a,b,c <2^63 { a%=c; b%=c; ll ret=0; while (b) { if (b&1) {ret+=a;ret%=c;} a<<=1; if (a>=c)a%=c; b>>=1; } return ret; }*/ ll Mult_mod (ll a,ll b,ll c) //减法实现比取模速度快 { //返回(a*b) mod c,a,b,c<2^63 a%=c; b%=c; ll ret=0; while (b) { if (b&1) { ret+=a; if (ret>=c) ret-=c; } a<<=1; if (a>=c) a-=c; b>>=1; } return ret; } //计算 x^n %c ll Pow_mod (ll x,ll n,ll mod) //x^n%c { if (n==1) return x%mod; x%=mod; ll tmp=x; ll ret=1; while (n) { if (n&1) ret=Mult_mod(ret,tmp,mod); tmp=Mult_mod(tmp,tmp,mod); n>>=1; } return ret; } //以a为基,n-1=x*2^t a^(n-1)=1(mod n) 验证n是不是合数 //一定是合数返回true,不一定返回false bool Check (ll a,ll n,ll x,ll t) { ll ret=Pow_mod(a,x,n); ll last=ret; for (int i=1;i<=t;i++) { ret=Mult_mod(ret,ret,n); if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true; //合数 last=ret; } if (ret!=1) return true; return false; } // Miller_Rabin()算法素数判定 //是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小) //合数返回false; bool Miller_Rabin (ll n) { if (n<2) return false; if (n==2) return true; if ((n&1)==0) return false;//偶数 ll x=n-1; ll t=0; while ((x&1)==0) {x>>=1;t++;} for (int i=0;i<S;i++) { ll a=rand()%(n-1)+1; //rand()需要stdlib.h头文件 if (Check(a,n,x,t)) return false;//合数 } return true; } //************************************************ //pollard_rho 算法进行质因数分解 //************************************************ ll factor[100];//质因数分解结果（刚返回时是无序的） int tol;//质因数的个数。数组下标从0开始 ll Gcd (ll a,ll b) { if (a==0) return 1; //??????? if (a<0) return Gcd(-a,b); while (b) { ll t=a%b; a=b; b=t; } return a; } ll Pollard_rho (ll x,ll c) { ll i=1,k=2; ll x0=rand()%x; ll y=x0; while (true) { i++; x0=(Mult_mod(x0,x0,x)+c)%x; ll d=Gcd(y-x0,x); if (d!=1 && d!=x) return d; if (y==x0) return x; if (i==k) {y=x0;k+=k;} } } //对n进行素因子分解 void Findfac (ll n) { if (Miller_Rabin(n)) //素数 { factor[tol++]=n; return; } ll p=n; while (p>=n) p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1); Findfac(p); Findfac(n/p); } int main () // Poj 1811 交G++ 比c++ 快很多 { // srand(time(NULL));//需要time.h头文件 //POJ上G++要去掉这句话 int T; scanf("%d",&T); while (T--) { ll n; scanf("%I64d",&n); if (Miller_Rabin(n)) { printf("Prime\n"); continue; } tol=0; Findfac(n); ll ans=factor[0]; for (int i=1;i<tol;i++) if (factor[i]<ans) ans=factor[i]; printf("%I64d\n",ans); } return 0; }