问题描述： 对于n的一个全排列，如果它可以划分成k个单调递增序列，每个序列都尽可能最长，则称其为k上升段。例如：排列1 2 4 5 6 3 9 10 7 8是一个合法的3上升段，它可以划分成1 2 4 5 6;3 9 10;7 8这三个单调递增序列。对每个给定的(n,k)，请你给出n的所有k上升段的个数。 输入格式： 输入仅有1行，包含两个数n, k（1 < n < 20, 1 < k < n）。 输出格式： 输出n的所有k上升段的个数。 样例 输入： 3 2 输出： 4
虽然题目中说的是n的全排列，但实际上我们可以通过递推关系来求而不需要枚举全排列。
递推式如下：
F[i][j]=(i-j+1)*f[i-1][j-1]+j*f[i-1][j];(i<=n,j<n)
其中i表示i的全排列，j表示划分的段数。
递推式由(i-j+1)*f[i-1][j-1]和j*f[i-1][j]两部分组成。
其中，(i-j+1)*f[i-1][j-1]表示当前状态由i-1的全排列划分为j-1段的数量，再在每一个子状态的没一个分段后插入一个i，一共可以插入（i-（j-1））个，
所以总和为（i-j+1）*f[i-1][j-1]个。
例如：
当一个子状态为|1||2||3|时可以向1或2或3后面插入一个4。所以当前子状态就有4种情况。
而j*f[i-1][j]就更简单了，当划分数量相同时而i少1时，可以向每个子状态的每一个划分段中插入一个i。一共就有j*f[i-1][j]个。
例如：
当一个子状态为|1||2,3||4|时，可以向|1|中或|2,3|中或|4|中插入一个i。
当前子状态就有3种情况。
关于赋初值的问题：
f[i][i]（0<i<=n)必须等于1，因为当状态f[i-1][j]转移过来时，每个分段都可以插入一个，如果为0就会导致j*f[i-1][j]整个值为0。
AC 代码如下：
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <cstdlib> #include <algorithm> using namespace std; long long f[25][25];//会炸int。 int main() { int n,k; cin>>n>>k; for(int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=1; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<i;j++) f[i][j]=(i-j+1)*f[i-1][j-1]+j*f[i-1][j]; cout<<f[n][k]; return 0; }