欧拉函数性质证明 ： n所有约数的欧拉函数和等于n

性质：对于正整数n ∑d|nϕ(d)=n 证明过程 (1)如果 n = 1 ϕ(n)=1=n 满足 (2)如果n是质数 ϕ(n)=n(1−1n)=n−1 所以 ϕ(n)+ϕ(1)=n 满足 (3)如果n是一个质数的幂,且底数 > 1 设n = p ^ k, p为质数, k > 1

∑d|nϕ(d)=∑i=0kϕ(pi)=∑i=1kpi−1(p−1)+1=pk 满足 (4)如果n有多个质因子 设n = a ₁ ^p ₁ a ₂ ^p ₂··· a _n ^p _n ∑d|nϕ(d)=∑i1=0p1∑i2=0p2⋅⋅⋅∑in=0pnϕ(ai11ai22⋅⋅⋅ainn)=n(相互独立互质，利用欧拉函数的积性)