对单变量函数 f:(a,b)→R ，我们称 f 在x0∈(a,b)处可微，如果极限
f′(x0)=limh→0f(x0+h)−f(x0)h存在。我们也将 f′(x) 写成 df/dx 。等价地，我们可以将上面的公式写成
limh→0f(x0+h)−f(x0)−f′(x0)hh=0即
limx→x0f(x)−f(x0)−f′(x0)(x−x0)x−x0=0或者
limx→x0|f(x)−f(x0)−f′(x0)(x−x0))||x−x0|=0f′(x) 表示 f 图像在点(x0,f(x0))处切线的斜率，如图1
图1 为了将这概念推广到映射 f:A⊂Rn→Rm 上，我们做出下面的定义。定义1 映射 f:A⊂Rn→Rm 在 x0∈A 处可微，如果存在一个线性函数，我们用 Df(x0):Rn→Rm 表示并称为 f 在x0处的导数，使得
limx→x0∥f(x)−f(x0)−Df(x0)(x−x0)∥∥x−x0∥=0这里， Df(x0)(x−x0) 表示线性映射 Df(x0) 与向量 x−x0∈Rn 得到的值，所以 Df(x0)(x−x0)∈Rm 。 以后对于 Df(x0)(h) 我们写成 Df(x0)⋅h 。(因为我们用 ∥x−x0∥ 去除，所以我们取极限的时候排除 x=x0 )
更明确一点就是，对于每个 ε>0 ，存在一个 δ>0 使得 x∈A,∥x−x0∥<δ 意味着
∥f(x)−f(x0)−Df(x0)(x−x0)∥≤ε∥x−x0∥在这个公式中我们可以取 x=x0 ，这时候两边都化简为零。
直观上， x↦f(x0)+Df(x0)(x−x0) 是 f 在点x0 附近最佳的仿射近似(仿射映射是线性映射加常数)，如图2。在图中我们标明了 f 图像的切线或切平面方程。
图2 如果f在 A 的各点均可微，我们就说f在 A 上可微。直观上来说就是只有一个最佳线性近似(如图???)，如果 A 是一个开集，那么这个事实就是真的，如果我们比较Df(x),df/dx=f′(x)的定义，那么我们可以看到 Df(x)(h)=f′(x)⋅h 。定理1 令 A 是Rn中的开集并且假设 f:A→Rm 在 x0 处可微，那么 Df(x0) 是由 f 唯一确定。
例1：令 f:R→R,f(x)=x3 ，计算 Df(x),df/dx 。
解： 从基本微积分只是可知 dx3/dx=3x2 ，那么在这个例子中 Df(x) 是线性映射
h↦Df(x)⋅h=3x2h例2： 说明一般而言， Df 不是唯一确定的。
解： 例如，如果 A={x0} 是单点，那么任何 Df(x0) 都满足条件，因为 x∈A ，那么只有 x=x0 时 ∥x−x0∥<δ 才成立，而这时表达式
∥f(x)−f(x0)−Df(x0)(x−x0)∥的值是零。
注意：如果有人看定理1证明的话，将会看出 Df(x) 在大于开集的集合中依然是唯一的(假设它存在)，例如该定理对于 R 上的闭区间或Rn中的邻域均有效。
接下来我们回顾一下单变量函数微分的一些基本事实，尤其是逻辑上是如何导出重要的均值定理的，之后我们会将这些想法推广到多变量函数上。
事实1 如果 f:(a,b)→R 在点 c∈(a,b) 处可微且 f 在c点有最大值(或者最小值)，那么 f′(c)=0 。
证明： 令 f 在c处有最大值，那么对于 h≥0,[f(c+h)−f(c)]/h≤0 ，因此令 h→0,h≥0 ，我们可以得出 f′(c)≤0 。同样地对于 h≤0 ，我们可以得出 f′(c)≥0 ，因此 f′(c)=0 。 ||
上面这个结论几何上非常直观。
事实2 (罗尔定理) 如果 f:[a,b]→R 是连续的， f 在(a,b)上可导并且 f(a)=f(b)=0 ，那么存在一个数 c∈(a,b) 使得 f′(c)=0 。
证明： 如果对于所有的 x∈[a,b],f(x)=0 ，那么我们可以任意选择一个数做为 c ，所以我们假设f不恒等于令，根据前面学到的内容可知，存在点 c1 使得 f 得到最大值，存在点c2使得 f 得到最小值。根据我们的假设以及事实f(a)=f(b)=0,c1,c2中至少存在一个点位于 (a,b) 中。如果 c1∈(a,b) ，那么我们利用事实1可得 f′(c1)=0 ； c2 同样如此。 ||
事实3 (均值定理) 如果 f:[a,b]→R 是连续的且在 (a,b) 上可导，那么存在点 c∈(a,b) 使得 f(b)−f(a)=f′(c)(b−a) 。
证明： 令 φ(x)=f(x)−f(a)−(x−a)[f(b)−f(a)]/(b−a) (如图 ??? ) 并应用罗尔定理。 ||
推论 如果 (a,b) 上 f′=0 ，那么 f 是常数。
证明：应用事实3到 [a,x] 的 f 上可以得到f(x)−f(a)=f′(c)(x−a)=0，所以对于所有的 x∈[a,b],f(x)=f(a) ，因此 f 是常数。
例3：令 f:(a,b)→R 是可微的且 |f′(x)|≤M ，证明对所有的 x,y∈(a,b),|f(x)−f(y)|≤M|x−y| 。
解： 根据均值定理，存在某个 c∈(x,y) 使得
f(x)−f(y)=f′(c)(x−y)然后取绝对值就得出所要的结论。
图3