一、什么是最长上升
一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度
二、最长上升子序列的最优子结构
我们首先来建立一下递推关系:
定义dp[i]:=以ai为末尾的最长上升子序列的长度
以ai为末尾的最长上升子序列是：
a.只包含ai的子序列;
b.在满足j<i并且aj<ai的以aj为结尾的上升子序列末尾，追加上ai后得到的子序列;
这样就能得到下面的递推关系式:
LIS[i] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且A[j] < A[t])
三、暴力实现
static int robot(int idx, vector<int>& nums){ if (idx < 0){ return 0; } int ans = 0; for (int i = 0; i < idx; i++){ if (nums[i] < nums[idx]){ ans = max(ans, robot(i- 1, nums)); } } return ans + 1; }
四、算法实现
int lis_len(int* arr, int n) { int i, j, res = 0; int dp[MAX_N]; for (i = 0; i < n; i++) { dp[i] = 1; for (j = 0; j < i; j++) { if (arr[j] < arr[i]) { dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1); } } res = max(res, dp[i]); } return res; }
五、算法改进
class Solution { public: static int robot(vector<int>& nums){ for (int i = 0; i < 10000; i++) { mi[i] = 1000000; } int path = 0; for (int idx = 0; idx < nums.size(); idx++) { int ans = 0; for (int i = 0; i <= path;i++) { if (nums[idx] > mi[i]) { ans = max(ans, i); } } f[idx] = ans + 1; mi[f[idx]] = min(mi[f[idx]], nums[idx]); path = max(path, f[idx]); } return f[nums.size()-1]; } static int lengthOfLIS(vector<int>& nums) { return robot(nums); } }; 