首先，我们知道01背包的状态转换方程：f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }
f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。 Pi表示第i件物品的价值。 决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？ 题目描述： 有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是4、5、6、2、2，它们的价值分别是6、4、5、3、6，现在给你个承重为10的背包， 如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？ 通过上表可以找出01背包问题的规律：
比如第a4，代表承重为4的背包可以装入价值6的物品，b9，代表承重为9的背包可以装入a，b各一个，价值总共为10.
01背包问题：
#include<iostream> using namespace std; #define V 1500 unsigned int f[10][V];//全局变量，自动初始化为0 unsigned int weight[10]; unsigned int value[10]; #define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y) int main() { int N,M; cin>>N;//物品个数 cin>>M;//背包容量 for (int i=1;i<=N; i++) { cin>>weight[i]>>value[i]; } for (int i=1; i<=N; i++) for (int j=1; j<=M; j++) { if (weight[i]<=j) { f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]); } else f[i][j]=f[i-1][j]; } cout<<f[N][M]<<endl;//输出最优解 }完全背包问题 一个背包总容量为V，现在有N个物品，第i个 物品体积为weight[i]，价值为value[i]，每个物品都有无限多件，现在往背包里面装东西，怎么装能使背包的内物品价值最大？
对比一下，看到的区别是，完全背包问题中，物品有无限多件。往背包里面添加物品时，只要当前背包没装满，可以一直添加。那么状态转移方程为：
f[i+1][j]=max(f[i][j-k*weight[i+1]+k*value[i+1])，其中0<=k<=V/weight[i+1]
#include<iostream> using namespace std; #define V 1500 unsigned int f[V];//全局变量，自动初始化为0 unsigned int weight[10]; unsigned int value[10]; #define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y) int main() { int N,M; cin>>N;//物品个数 cin>>M;//背包容量 for (int i=1;i<=N; i++) { cin>>weight[i]>>value[i]; } for (int i=1; i<=N; i++) for (int j=1; j<=M; j++) { if (weight[i]<=j) { f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]); } } cout<<f[M]<<endl;//输出最优解 } 多重背包问题：
多重背包问题要求很简单，就是每件物品给出确定的件数，求 可得到的最大价值 多重背包转换成 01 背包问题就是多了个初始化，把它的件数C 用二进制 分解成若干个件数的集合，这里面数字可以组合成任意小于等于C 的件数，而且不会重复，之所以叫二进制分解，是因为这样分解可 以用数字的二进制形式来解释 比如：7的二进制 7 = 111 它可以分解成 001 010 100 这三个数可以 组合成任意小于等于7 的数，而且每种组合都会得到不同的数 15 = 1111 可分解成 0001 0010 0100 1000 四个数字 如果13 = 1101 则分解为 0001 0010 0100 0110 前三个数字可以组合成 7以内任意一个数，即1、2、4可以组合为1——7内所有的数，加上 0110 = 6 可以组合成任意一个大于6 小于等于13 的数，比如12，可以让前面贡献6且后面也贡献6就行了。虽然有重复但总是能把 13 以内所有的数都考虑到了，基于这种 思想去把多件物品转换为，多种一件物品，就可用01 背包求解了。
看代码：
int n; //输入有多少种物品 int c; //每种物品有多少件 int v; //每种物品的价值 int s; //每种物品的尺寸 int count = 0; //分解后可得到多少种物品 int value[MAX]; //用来保存分解后的物品价值 int size[MAX]; //用来保存分解后物品体积 scanf("%d", &n); //先输入有多少种物品，接下来对每种物品进行分解 while (n--) //接下来输入n中这个物品 { scanf("%d%d%d", &c, &s, &v); //输入每种物品的数目和价值 for (int k=1; k<=c; k<<=1) //<<右移 相当于乘二 { value[count] = k*v; size[count++] = k*s; c -= k; } if (c > 0) { value[count] = c*v; size[count++] = c*s; } } 使用二进制优化后的多重背包：
#include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> using namespace std; int main(void) { int Limit,nKind,i,j,k, v[111],w[111],c[111],dp[111]; //v[]存价值，w[]存尺寸，c[]存件数 //在本题中，价值是米的重量，尺寸是米的价格 int count,Value[1111],size[1111]; //count存储分解完后的物品总数 //Value存储分解完后每件物品的价值 //size存储分解完后每件物品的尺寸 count=0; cin>>Limit>>nKind; for(i=0; i<nKind; i++) { cin>>w[i]>>v[i]>>c[i]; //对该种类的c[i]件物品进行二进制分解 for(j=1; j<=c[i]; j<<=1) { //<<左移1位，相当于乘2 Value[count]=j*v[i]; size[count++]=j*w[i]; c[i]-=j; } if(c[i]>0) { Value[count]=c[i]*v[i]; size[count++]=c[i]*w[i]; } } //经过上面对每一种物品的分解， //现在Value[]存的就是分解后的物品价值 //size[]存的就是分解后的物品尺寸 //count就相当于原来的n //下面就直接用01背包算法来解 memset(dp,0,sizeof(dp)); for(i=0; i<count; i++) for(j=Limit; j>=size[i]; j--) if(dp[j]<dp[j-size[i]]+Value[i]) dp[j]=dp[j-size[i]]+Value[i]; cout<<dp[Limit]<<endl; return 0; } 为优化的：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; int Value[105]; int Cost[105]; int Bag[105]; int dp[105]; int main() { int C,m,n; scanf("%d",&C); while(C--) { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d%d%d",&Cost[i],&Value[i],&Bag[i]); memset(dp,0,sizeof(dp)); for(int i=1; i<= m; i++) for(int j=1; j<=Bag[i]; j++) for(int k=n; k>=Cost[i]; k--) dp[k]=max(dp[k], dp[k-Cost[i]]+Value[i]); printf("%d\n",dp[n]); } return 0; }
