整数划分 －－－ 一个老生长谈的问题: 1) 练练组合数学能力. 2) 练练递归思想 3) 练练DP 总之是一道经典的不能再经典的题目: 这道好题求: 1. 将n划分成若干正整数之和的划分数。 2. 将n划分成k个正整数之和的划分数。 3. 将n划分成最大数不超过k的划分数。 4. 将n划分成若干奇正整数之和的划分数。 5. 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
1.将n划分成不大于m的划分法：
1).若是划分多个整数可以存在相同的：
dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m] dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。 则划分数可以分为两种情况: a.划分中每个数都小于 m，相当于每个数不大于 m- 1, 故划分数为 dp[n][m-1]. b.划分中有一个数为 m. 那就在 n中减去 m ,剩下的就相当于把 n-m 进行划分， 故划分数为 dp[n-m][m];
2).若是划分多个不同的整数：
dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m-1] dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。 同样划分情况分为两种情况： a.划分中每个数都小于m,相当于每个数不大于 m-1,划分数为 dp[n][m-1]. b.划分中有一个数为 m.在n中减去m,剩下相当对n-m进行划分，
并且每一个数不大于m-1，故划分数为 dp[n-m][m-1]
2.将n划分成k个数的划分法：
dp[n][k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1];
方法可以分为两类： 第一类: n 份中不包含 1 的分法，为保证每份都 >= 2，可以先拿出 k 个 1 分 到每一份，然后再把剩下的 n- k 分成 k 份即可，分法有: dp[n-k][k] 第二类: n 份中至少有一份为 1 的分法，可以先那出一个 1 作为单独的1份，剩 下的 n- 1 再分成 k- 1 份即可，分法有：dp[n-1][k-1]
3.将n划分成若干奇数的划分法：
g[i][j]:将i划分为j个偶数
f[i][j]:将i划分为j个奇数 g[i][j] = f[i - j][j]; f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];
方法可以分为两类：
第一类：i中拿出j个1分到每一份中，将剩余的i-j分成j个奇数
第二类：一份包含奇数1，剩余的i-1分成j-1个奇数；另一种，每份至少大于1，将j个1拿出来分到每一份中，其余i-j分成j份
#include<stdio.h> #include<string.h> #define nmax 51 int num[nmax][nmax]; //将i划分为不大于j的个数 int num1[nmax][nmax]; //将i划分为不大于j的不同的数 int num2[nmax][nmax]; //将i划分为j个数 int f[nmax][nmax]; //将i划分为j个奇数 int g[nmax][nmax]; //将i划分为j个偶数 void init() { int i, j; for (i = 0; i < nmax; i++) { num[i][0] = 0, num[0][i] = 0, num1[i][0] = 0, num1[0][i] = 0, num2[i][0] = 0, num2[0][i] = 0; } for (i = 1; i < nmax; i++) { for (j = 1; j < nmax; j++) { if (i < j) { num[i][j] = num[i][i]; num1[i][j] = num1[i][i]; num2[i][j] = 0; } else if (i == j) { num[i][j] = num[i][j - 1] + 1; num1[i][j] = num1[i][j - 1] + 1; num2[i][j] = 1; } else { num[i][j] = num[i][j - 1] + num[i - j][j]; num1[i][j] = num1[i][j - 1] + num1[i - j][j - 1]; num2[i][j] = num2[i - 1][j - 1] + num2[i - j][j]; } } } f[0][0] = 1, g[0][0] = 1; for (i = 1; i < nmax; i++) { for (j = 1; j <= i; j++) { g[i][j] = f[i - j][j]; f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j]; } } } int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("data.in", "r", stdin); #endif int n, k, i, res0, res1, res2, res3, res4; init(); while (~scanf("%d %d", &n, &k)) { res0 = num[n][n]; res1 = num2[n][k]; res2 = num[n][k]; for (i = 0, res3 = 0; i <= n; i++) { res3 += f[n][i]; } res4 = num1[n][n]; printf("%d\n%d\n%d\n%d\n%d\n\n", res0, res1, res2, res3, res4); } return 0; }
