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本部分剖析Caffe中Net::Backward()函数，即反向传播计算过程。从LeNet网络角度出发，且调试网络为训练网络，共9层网络。具体网络层信息见 （Caffe，LeNet）初始化训练网络（三） 第2部分
本部分不介绍反向传播算法的理论原理，以下介绍基于对反向传播算法有一定的了解。
Net::Backward()函数中调用BackwardFromTo函数，从网络最后一层到网络第一层反向调用每个网络层的Backward。
void Net<Dtype>::BackwardFromTo(int start, int end) { for (int i = start; i >= end; --i) { if (layer_need_backward_[i]) { layers_[i]->Backward( top_vecs_[i], bottom_need_backward_[i], bottom_vecs_[i]); if (debug_info_) { BackwardDebugInfo(i); } } } } 123456789 123456789代码实现如下：
void SoftmaxWithLossLayer<Dtype>::Backward_gpu(const vector<Blob<Dtype>*>& top, const vector<bool>& propagate_down, const vector<Blob<Dtype>*>& bottom) { // bottom_diff shape:64*10 Dtype* bottom_diff = bottom[0]->mutable_gpu_diff(); // prob_data shape:64*10 const Dtype* prob_data = prob_.gpu_data(); // top_data shape:(1) const Dtype* top_data = top[0]->gpu_data(); // 将Softmax层预测的结果prob复制到bottom_diff中 caffe_gpu_memcpy(prob_.count() * sizeof(Dtype), prob_data, bottom_diff); // label shape:64*1 const Dtype* label = bottom[1]->gpu_data(); // dim = 640 / 64 = 10 const int dim = prob_.count() / outer_num_; // nthreads = 64 / 1 = 64 const int nthreads = outer_num_ * inner_num_; // Since this memory is never used for anything else, // we use to to avoid allocating new GPU memory. Dtype* counts = prob_.mutable_gpu_diff(); // 该函数将bottom_diff（此时为每个类的预测概率）对应的正确类别（label）的概率值-1，其他数据没变。见公式推导。 SoftmaxLossBackwardGPU<Dtype><<<CAFFE_GET_BLOCKS(nthreads), CAFFE_CUDA_NUM_THREADS>>>(nthreads, top_data, label, bottom_diff, outer_num_, dim, inner_num_, has_ignore_label_, ignore_label_, counts); // 代码展开开始,代码有修改 __global__ void SoftmaxLossBackwardGPU(...) { CUDA_KERNEL_LOOP(index, nthreads) { const int label_value = static_cast<int>(label[index]); bottom_diff[index * dim + label_value] -= 1; counts[index] = 1; } } // 代码展开结束 Dtype valid_count = -1; // 注意为loss的权值，对该权值（一般为1或者0）归一化（除以64） // Scale gradient const Dtype loss_weight = top[0]->cpu_diff()[0]; if (normalize_) { caffe_scal(prob_.count(), loss_weight / count, bottom_diff); } else { caffe_scal(prob_.count(), loss_weight / outer_num_, bottom_diff); } } 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546说明： 1. SoftmaxWithLossLayer是没有学习参数的（见前向计算（五）) ，因此不需要对该层的参数做调整，只需要计算bottom_diff（理解反向传播算法的链式求导，求bottom_diff对上一层的输出求导，是为了进一步计算调整上一层权值） 2. 以上代码核心部分在SoftmaxLossBackwardGPU。该函数将bottom_diff（此时为每个类的预测概率）对应的正确类别（label）的概率值-1，其他数据没变。这里使用前几节的符号系统及图片进行解释。
符号系统
设SoftmaxWithLoss层的输入为向量 z ，即bottom_blob_data，也就是上一层的输出。经过Softmax计算后的输出为向量 f(z) ，公式为（省略了标准化常量m） f(zk)=ezk∑niezi 。最后SoftmaxWithLoss层的输出为 loss=∑n−logf(zy) ， y 为样本的标签。见前向计算（五）。
反向推导
把loss展开可得
loss=log∑inezi−zy 所以 dlossdz 结果如下： ∂loss∂zi={f(zy)−1,zi=zyf(zi),zi≠zy
图示
如图，当前层ip2层的输入为 z ，上一层的输入为 u 。
1. 对上一层输出求偏导
∂loss∂uj 存放在ip2层的bottom_blob_diff（64*500）中，计算公式如下，其中 ∂loss∂zk 存放在top_blob_diff（64*10）中:
∂zk∂uj=∑100jwkjuj∂uj=wkj
∂loss∂uj=∑kn=10∂loss∂zk∂zk∂uj=∑kn=10∂loss∂zkwkj 写成向量的形式为： ∂loss∂uj=∂loss∂zT⋅wj 进一步，写成矩阵的形式，其中 u 为500维， z 为10维， W 为 10×500 ： ∂loss∂uT=∂loss∂zT⋅W 再进一步，考虑到一个batch有64个样本，表达式可以写成如下形式，其中 U 为 64×500 ； Z 为 64×10 ； W 为 10×500 ： ∂loss∂U=∂loss∂Z⋅W
2. 对参数求偏导
∂loss∂wkj=∂loss∂zk∂zk∂wkj=∂loss∂zkuj 写成向量的形式有： ∂loss∂wj=∂loss∂zuj 进一步，可以写成矩阵形式，其中 W 为 10×500 ； z 为10维； u 为500维。 ∂loss∂W=∂loss∂zuT 再进一步，考虑到一个batch有64个样本，表达式可以写成如下形式，其中 W 为 10×500 ； Z 为 64×10 ； U 为 64×500 ： ∂loss∂W=∂loss∂ZT⋅U
cpu代码分析如下，注，该层没有参数，只需对输入求导
void ReLULayer<Dtype>::Backward_cpu(const vector<Blob<Dtype>*>& top, const vector<bool>& propagate_down, const vector<Blob<Dtype>*>& bottom) { if (propagate_down[0]) { const Dtype* bottom_data = bottom[0]->cpu_data(); const Dtype* top_diff = top[0]->cpu_diff(); Dtype* bottom_diff = bottom[0]->mutable_cpu_diff(); const int count = bottom[0]->count(); //见公式推导 Dtype negative_slope = this->layer_param_.relu_param().negative_slope(); for (int i = 0; i < count; ++i) { bottom_diff[i] = top_diff[i] * ((bottom_data[i] > 0) + negative_slope * (bottom_data[i] <= 0)); } } } 123456789101112131415161718 123456789101112131415161718设输入向量为 bottom_data ，输出向量为 top_data ，ReLU层公式为
top_datai={bottom_dataibottom_datai∗slopebottom_datai>0bottom_datai≤0 所以，loss对输入的偏导为: ∂loss∂bottom_datai=∂loss∂top_datai⋅∂top_datai∂bottom_datai={top_diffitop_diffi∗slopebottom_datai>0bottom_datai≤0
Maxpooling的cpu代码分析如下，注，该层没有参数，只需对输入求导
void PoolingLayer<Dtype>::Backward_cpu(const vector<Blob<Dtype>*>& top, const vector<bool>& propagate_down, const vector<Blob<Dtype>*>& bottom) { const Dtype* top_diff = top[0]->cpu_diff(); Dtype* bottom_diff = bottom[0]->mutable_cpu_diff(); // bottom_diff初始化置0 caffe_set(bottom[0]->count(), Dtype(0), bottom_diff); const int* mask = NULL; // suppress warnings about uninitialized variables ... // 在前向计算时max_idx中保存了top_data中的点是有bottom_data中的点得来的在该feature map中的坐标 mask = max_idx_.cpu_data(); // 主循环，按(N,C,H,W)方式便利top_data中每个点 for (int n = 0; n < top[0]->num(); ++n) { for (int c = 0; c < channels_; ++c) { for (int ph = 0; ph < pooled_height_; ++ph) { for (int pw = 0; pw < pooled_width_; ++pw) { const int index = ph * pooled_width_ + pw; const int bottom_index = mask[index]; // 见公式推导 bottom_diff[bottom_index] += top_diff[index]; } } bottom_diff += bottom[0]->offset(0, 1); top_diff += top[0]->offset(0, 1); mask += top[0]->offset(0, 1); } } } 12345678910111213141516171819202122232425262728293031 12345678910111213141516171819202122232425262728293031
由图可知，maxpooling层是非线性变换，但有输入与输出的关系可线性表达为 bottom_dataj=top_datai （所以需要前向计算时需要记录索引i到索引j的映射max_idx_. 链式求导有：
bottom_diffj=∂loss∂bottom_dataj=∂loss∂top_datai⋅∂top_datai∂bottom_dataj=top_diffi⋅1（注意下标）
说明：
第四层的bottom维度 (N,C,H,W)=(64,20,12,12) ，top的维度bottom维度 (N,C,H,W)=(64,50,8,8) ,由于每个样本单独处理，所以只需要关注 (C,H,W) 的维度，分别为 (20,12,12) 和 (50,8,8) 根据（Caffe）卷积的实现，该层可以写成矩阵相乘的形式 Weight_data×Bottom_dataT=Top_data Weight_data 的维度为 Cout×(C∗K∗K)=50×500 Bottom_data 的维度为 (H∗W)×(C∗K∗K)=64×500 ， 64 为 8∗8 个卷积核的位置， 500=C∗K∗K=20∗5∗5 Top_data 的维度为 64×50 写成矩阵表示后，从某种角度上与全连接从（也是表示成矩阵相乘）相同，因此，可以借鉴全连接层的推导。