线性回归与梯度下降法——原理与实现

看了coursea的机器学习课，知道了梯度下降法。一开始只是对其做了下简单的了解。随着内容的深入，发现梯度下降法在很多算法中都用的到，除了之前看到的用来处理线性模型，还有BP神经网络等。于是就有了这篇文章。

本文主要讲了梯度下降法的两种迭代思路，随机梯度下降（Stochastic gradient descent）和批量梯度下降（Batch gradient descent）。以及他们在python中的实现。

梯度下降法

梯度下降是一个最优化算法，通俗的来讲也就是沿着梯度下降的方向来求出一个函数的极小值。那么我们在高等数学中学过，对于一些我们了解的函数方程，我们可以对其求一阶导和二阶导，比如说二次函数。可是我们在处理问题的时候遇到的并不都是我们熟悉的函数，并且既然是机器学习就应该让机器自己去学习如何对其进行求解，显然我们需要换一个思路。因此我们采用梯度下降，不断迭代，沿着梯度下降的方向来移动，求出极小值。

此处我们还是用coursea的机器学习课中的案例，假设我们从中介那里拿到了一个地区的房屋售价表，那么在已知房子面积的情况下，如何得知房子的销售价格。显然，这是一个线性模型，房子面积是自变量x，销售价格是因变量y。我们可以用给出的数据画一张图。然后，给出房子的面积，就可以从图中得知房子的售价了。

现在我们的问题就是，针对给出的数据，如何得到一条最拟合的直线。

对于线性模型，如下。

h(x)是需要拟合的函数。J(θ)称为均方误差或cost function。用来衡量训练集众的样本对线性模式的拟合程度。m为训练集众样本的个数。θ是我们最终需要通过梯度下降法来求得的参数。

h(θ)=∑j=0nθjxjJ(θ)=12m∑i=0m(yi−hθ(xi))2 h(θ)=∑j=0nθjxjJ(θ)=12m∑i=0m(yi−hθ(xi))2

接下来的梯度下降法就有两种不同的迭代思路。

批量梯度下降（Batch gradient descent）

现在我们就要求出J(θ)取到极小值时的 θT θT向量。之前已经说过了，沿着函数梯度的方向下降就能最快的找到极小值。

计算J(θ)关于 θT θT的偏导数,也就得到了向量中每一个 θ θ的梯度。 ∂J(θ)∂θj=−1m∑i=0m(yi−hθ(xi))∂∂θj(yi−hθ(xi))=−1m∑i=0m(yi−hθ(xi))∂∂θj(∑j=0nθjxij−yi)=−1m∑i=0m(yi−hθ(xi))xij(1)(2)(3) (1)∂J(θ)∂θj=−1m∑i=0m(yi−hθ(xi))∂∂θj(yi−hθ(xi))(2)=−1m∑i=0m(yi−hθ(xi))∂∂θj(∑j=0nθjxji−yi)(3)=−1m∑i=0m(yi−hθ(xi))xji 沿着梯度的方向更新参数θ的值 θj:=θj+α∂J(θ)∂θj:=θj−α1m∑i=0m(yi−hθ(xi))xij θj:=θj+α∂J(θ)∂θj:=θj−α1m∑i=0m(yi−hθ(xi))xji 迭代直到收敛。

可以看到，批量梯度下降是用了训练集中的所有样本。因此在数据量很大的时候，每次迭代都要遍历训练集一遍，开销会很大，所以在数据量大的时候，可以采用随机梯度下降法。

随机梯度下降（Stochastic gradient descent）

和批量梯度有所不同的地方在于，每次迭代只选取一个样本的数据，一旦到达最大的迭代次数或是满足预期的精度，就停止。

可以得出随机梯度下降法的θ更新表达式。

θj:=θj−α1m(yi−hθ(xi))xij θj:=θj−α1m(yi−hθ(xi))xji 迭代直到收敛。

两种迭代思路的python实现

下面是python的代码实现，现在仅仅是用纯python的语法（python2.7）来实现的。随着学习的深入，届时还会有基于numpy等一些库的实现，下次补充。

#encoding:utf-8 #随机梯度 def stochastic_gradient_descent(x,y,theta,alpha,m,max_iter): """随机梯度下降法，每一次梯度下降只使用一个样本。 :param x: 训练集种的自变量 :param y: 训练集种的因变量 :param theta: 待求的权值 :param alpha: 学习速率 :param m: 样本总数 :param max_iter: 最大迭代次数 """ deviation = 1 iter = 0 flag = 0 while True: for i in range(m): #循环取训练集中的一个 deviation = 0 h = theta[0] * x[i][0] + theta[1] * x[i][1] theta[0] = theta[0] + alpha * (y[i] - h)*x[i][0] theta[1] = theta[1] + alpha * (y[i] - h)*x[i][1] iter = iter + 1 #计算误差 for i in range(m): deviation = deviation + (y[i] - (theta[0] * x[i][0] + theta[1] * x[i][1])) ** 2 if deviation <EPS or iter >max_iter: flag = 1 break if flag == 1 : break return theta, iter #批量梯度 def batch_gradient_descent(x,y,theta,alpha,m,max_iter): """批量梯度下降法，每一次梯度下降使用训练集中的所有样本来计算误差。 :param x: 训练集种的自变量 :param y: 训练集种的因变量 :param theta: 待求的权值 :param alpha: 学习速率 :param m: 样本总数 :param max_iter: 最大迭代次数 """ deviation = 1 iter = 0 while deviation > EPS and iter < max_iter: deviation = 0 sigma1 = 0 sigma2 = 0 for i in range(m): #对训练集中的所有数据求和迭代 h = theta[0] * x[i][0] + theta[1] * x[i][1] sigma1 = sigma1 + (y[i] - h)*x[i][0] sigma2 = sigma2 + (y[i] - h)*x[i][1] theta[0] = theta[0] + alpha * sigma1 /m theta[1] = theta[1] + alpha * sigma2 /m #计算误差 for i in range(m): deviation = deviation + (y[i] - (theta[0] * x[i][0] + theta[1] * x[i][1])) ** 2 iter = iter + 1 return theta, iter #运行 为两种算法设置不同的参数 # data and init matrix_x = [[2.1,1.5],[2.5,2.3],[3.3,3.9],[3.9,5.1],[2.7,2.7]] matrix_y = [2.5,3.9,6.7,8.8,4.6] MAX_ITER = 5000 EPS = 0.0001 #随机梯度 theta = [2,-1] ALPHA = 0.05 resultTheta,iters = stochastic_gradient_descent(matrix_x, matrix_y, theta, ALPHA, 5, MAX_ITER) print 'theta=',resultTheta print 'iters=',iters #批量梯度 theta = [2,-1] ALPHA = 0.05 resultTheta,iters = batch_gradient_descent(matrix_x, matrix_y, theta, ALPHA, 5, MAX_ITER) print 'theta=',resultTheta print 'iters=',iters

代码见github。https://github.com/maoqyhz/machine_learning_practice.git 运行结果 ALPHA = 0.05

theta= [-0.08445285887795494, 1.7887820818368738] iters= 1025 theta= [-0.08388979324755381, 1.7885951009289043] iters= 772 [Finished in 0.5s]

ALPHA = 0.01

theta= [-0.08387216503392847, 1.7885649678753883] iters= 3566 theta= [-0.08385924864202322, 1.788568071697816] iters= 3869 [Finished in 0.1s]

ALPHA = 0.1

theta= [588363545.9596066, -664661366.4562845] iters= 5001 theta= [-0.09199523483489512, 1.7944581778450577] iters= 516 [Finished in 0.2s]

总结

梯度下降法是一种最优化问题求解的算法。有批量梯度和随机梯度两种不同的迭代思路。他们有以下的差异：

批量梯度收敛速度慢，随机梯度收敛速度快。批量梯度是在θ更新前对所有样例汇总误差，而随机梯度下降的权值是通过考查某个样本来更新的批量梯度的开销大，随机梯度的开销小。

使用梯度下降法时需要寻找出一个最好的学习效率。这样可以使得使用最少的迭代次数达到我们需要的精度。