计算机程序设计艺术一扩展欧几里得算法

概念:

        对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然 存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

书中描述：

可能是我数学太差了，完全找不到相关性。。。

证明：

        设 a>b。

        1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；         2，ab!=0 时         设 ax1+by1=gcd(a,b);         bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);        根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

       即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;        根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;        这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2。

       终于知道了其相关性了，证明思想来自于递归。

代码：

1.递归思想实现：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return a; } int r=exgcd(b,a%b,x,y); int t=x; x=y; y=t-a/b*y; return r; }

2.非递归思想实现：

int exgcd(int m,int n,int &x,int &y) { int x1,y1,x0,y0; x0=1; y0=0; x1=0; y1=1; x=0; y=1; int r=m%n; int q=(m-r)/n; while(r) { x=x0-q*x1; y=y0-q*y1; x0=x1; y0=y1; x1=x; y1=y; m=n; n=r; r=m%n; q=(m-r)/n; } return n; }