最近在LeetCode做题，遇到一些动态规划问题，感觉前几年的学的算法以及数据结构白学了，于是转载这篇文章：动态规划问题
1、三角数塔问题 设有一个三角形的数塔，顶点为根结点，每个结点有一个整数值。从顶点出发，可以向左走或向右走，如图所示： 要求从根结点开始，请找出一条路径，使路径之和最大，只要输出路径的和。 【代码】 // // 例题1 三角数字塔问题 // // #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAXN 101 int n,d[MAXN][MAXN]; int a[MAXN][MAXN]; void fnRecursive(int,int); //递推方法函数声明 int fnMemorySearch(int,int); //记忆化搜索函数声明 int main() { int i,j; printf("输入三角形的行数n(n=1-100):\n"); scanf("%d",&n); printf("按行输入数字三角形上的数(1-100):\n"); for(i=1; i<=n; i++) for(j=1; j<=i; j++) scanf("%d",&a[i][j]); for(i=1; i<=n; i++) for(j=1; j<=i; j++) d[i][j]=-1;//初始化指标数组 printf("递推方法：1\n记忆化搜索方法：2\n"); int select; scanf("%d",&select); if(select==1) { fnRecursive(i,j);//调用递推方法 printf("\n%d\n",d[1][1]); } if(select==2) { printf("\n%d\n",fnMemorySearch(1,1));//调用记忆化搜索方法 } else printf("输入错误！"); return 0; } void fnRecursive(int i,int j) //递推方法实现过程 { for(j=1; j<=n; j++) d[n][j]=a[n][j]; for(i=n-1; i>=1; i--) for(j=1; j<=i; j++) d[i][j]=a[i][j]+(d[i+1][j]>d[i+1][j+1]?d[i+1][j]:d[i+1][j+1]); } int fnMemorySearch(int i,int j) //记忆化搜索实现过程 { if(d[i][j]>=0) return d[i][j]; if(i==n) return(d[i][j]=a[i][j]); if(fnMemorySearch(i+1,j)>fnMemorySearch(i+1,j+1)) return(d[i][j]=(a[i][j]+fnMemorySearch(i+1,j))); else return(d[i][j]=(a[i][j]+fnMemorySearch(i+1,j+1))); } 2、硬币问题 问题描述：有n种硬币，面值分别为V1,V2,…,Vn, 每种有无限多。给定非负整数S，可以选用多少硬币，使得面值之和恰好为S，输出硬币数目的最小值和最大值。（1<=n<=100,0<=S<=10000,1<=Vi<=S） 【代码】 // // 例题1 硬币问题 // // #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define INF 100000000 #define MAXNUM 10000 #define MONEYKIND 100 int n,S; int V[MONEYKIND]; int min[MAXNUM],max[MAXNUM]; void dp(int*,int*); //递推方法函数声明 void print_ans(int*,int); //输出函数声明 int main() { int i; printf("输入硬币的种数n(1-100):\n"); scanf("%d",&n); printf("输入要组合的钱数S(0-10000):\n"); scanf("%d",&S); printf("输入硬币种类：\n"); for(i=1; i<=n; i++) { scanf("%d",&V[i]); } dp(min,max); printf("最小组合方案：\n"); print_ans(min,S); printf("\n"); printf("最大组合方案：\n"); print_ans(max,S); return 0; } void dp(int *min,int *max) //递推过程实现 { int i,j; min[0] = max[0] = 0; for(i=1; i<=S; i++)//初始化数组 { min[i]=INF; max[i]=-INF; } for(i=1; i<=S; i++) for(j=1; j<=n; j++) if(i>=V[j]) { if(min[i-V[j]]+1<min[i]){ min[i]=min[i-V[j]]+1;//最小组合过程 //printf("%d\n",min[i]); } if(max[i-V[j]]+1>max[i]) max[i]=max[i-V[j]]+1;//最大组合过程 } } void print_ans(int *d,int S) //输出函数实现 { int i; for(i=1; i<=n; i++) if(S>=V[i]&&d[S]==d[S-V[i]]+1) { printf("%d-",V[i]); print_ans(d,S-V[i]); break; } } 3、矩形嵌套问题 问题描述：有n个矩形，每个矩形可以用两个整数a,b描述，表示它的长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中，当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d（相当于把矩形X旋转90度）。例如(1,5)可以嵌套在(6,2)内，但不能嵌套在(3,4)内。你的任务是选出尽量多的矩形排成一行，使得除了最后一个之外，每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。 【代码】 // // 例题2 矩形嵌套问题 // // #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAXNUM 100//矩形的最大个数 struct Rect { int x; int y; }; int n;//矩形个数 struct Rect rect[MAXNUM]; int G[MAXNUM][MAXNUM];//邻接有向图 int d[MAXNUM];//过程数组 int dp(int i,int G[MAXNUM][MAXNUM]); int main() { int i,j,z; printf("输入矩形个数n(1-100):\n"); scanf("%d",&n); printf("输入矩形的长和宽：\n"); for(i=1; i<=n; i++) { scanf("%d",&rect[i].x); scanf("%d",&rect[i].y); } for(i=1; i<=n; i++) for(j=1; j<=n; j++) { if(rect[i].x<rect[j].x&&rect[i].y<rect[j].y) G[i][j]=1; } printf("输入要开始的矩形z：\n"); scanf("%d",&z); //printf("%d-",z); int temp = dp(z,G); printf("最大可嵌套个数：%d\n",temp); return 0; } int dp(int i,int G[MAXNUM][MAXNUM]) { int j; if(d[i]>0) return d[i]; d[i]=1; for(j=1; j<=n; j++) if(G[i][j]) if(dp(j,G)+1>d[i]) { d[i]=dp(j,G)+1; } return d[i]; } 4、求一组数列的最长的不下降序列。 问题描述：设有一个正整数序列b1，b2，b3，……，bn，若下标为i1<i2<i3，……<ik且有bi1≤bi2≤……bik则称存在一个长度为k的不下降序列。可能有多个不下降序列，输出最长序列的长度。 样例输入：13 7 9 16 38 24 37 18 样例输出：5 (7 9 16 24 37) 【代码】 // // 例题2 数组的最长不下降序列问题 // // #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAXNUM 100//最大数字个数 int b[MAXNUM][2]; int n; int len; int main() { int i,j; printf("输入数列中数字的个数n(1-100)：\n"); scanf("%d",&n); printf("输入数字：\n"); for(i=1; i<=n; i++) { scanf("%d",&b[i][0]); b[i][1]=1; } for(i=2; i<=n; i++) { len = 0; for(j=1; j<i; j++) if((b[i][0]>=b[j][0])&&(b[j][1]>len)) len=b[j][1]; if(len>0) b[i][1]=len+1; } len = 1; for(j=2; j<=n; j++) if(b[j][1]>len) len = b[j][1]; printf("最长为：%d\n",len); return 0; } 5、0-1背包问题 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 【代码】 // // 0-1背包问题 // // #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAXN 100//物品种类最大数量 int w[MAXN],V[MAXN]; int C;//最大容量 int n;//物品种类 int d[MAXN][MAXN]; int jMax; int min(int,int); //两数之间的最小值 int max(int,int); //两数之间的最大值 void print_ans(int d[][MAXN],int,int); //构造最优解并输出 int main() { int i,j; printf("输入物品种类数n(1-100):\n"); scanf("%d",&n); printf("输入每个种类的重量：\n"); for(i=1; i<=n; i++) { scanf("%d",&w[i]); } printf("输入每个种类的价值：\n"); for(i=1; i<=n; i++) { scanf("%d",&V[i]); } printf("输入背包的容量C：\n"); scanf("%d",&C); jMax=min(C,w[n]-1); for(j=0; j<=jMax; j++) d[n][j]=0; for(j=w[n]; j<=C; j++) d[n][j]=V[n]; for(i=n-1; i>1; i--) { jMax=min(C,w[i]-1); for(j=0; j<=jMax; j++) d[i][j]=d[i+1][j]; for(j=w[i]; j<=C; j++) d[i][j]=max(d[i+1][j],d[i+1][j-w[i]]+V[i]); } d[1][C]=d[2][C]; if(C>=w[i]) d[1][C]=max(d[1][C],d[2][C-w[i]]+V[1]); printf("最大可容纳：%d\n",d[1][C]); return 0; } int min(int x,int y) { if(x>y) return y; else return x; } int max(int x,int y) { if(x<y) return y; else return x; } 6、数字游戏问题 小W发明了一个游戏，他在黑板上写出了一行数字a1，a2，a3，……，an，然后给你M个回合的机会，每回合你可以从中选择一个数字擦去它，接着剩下来的每个数字ai都要递减一个值bi。如此重复m个回合，所有你擦去的数字之和就是你所得的分数。 编程算算，对于每个a和b序列，可以得到的最大得分是多少。 输入样例： 3 {数字个数n} 3 {回合数m} 10 20 30 {n个原始序列} 4 5 6 {n个每回合每个数字递减的值} 输出样例： 47 【代码】 // // 练习一 数字游戏 // // #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAXNUM 100 int n;//数字个数 int m;//回合数 int Num[MAXNUM];//原始数据数组 int DescNum[MAXNUM];//递减数据数组 int F[MAXNUM][MAXNUM];//过程数组 void swap(int ,int ); //交换两个整数 int max(int ,int ); //取两个中的最大值 int main() { int i,j; printf("输入数字的个数n(1-100)：\n"); scanf("%d",&n); printf("输入回合数m(1-100)<=n：\n"); scanf("%d",&m); printf("输入n个原始序列：\n"); for(i=1; i<=n; i++) { scanf("%d",&Num[i]); } printf("输入n个递减的数字：\n"); for(i=1; i<=n; i++) { scanf("%d",&DescNum[i]); } for(i=1; i<=n; i++) { for(j=i+1; j<=n; j++) { if(DescNum[i]<DescNum[j]) { swap(Num[i],Num[j]); swap(DescNum[i],DescNum[j]); } } } for(i=1; i<=n; i++) { F[i-1][0]=0; for(j=1; j<=m; j++) F[i][j]=max(F[i-1][j],F[i-1][j-1]+Num[i]-DescNum[i]*(j-1)); } printf("得分：%d\n",F[n][m]+DescNum[1]); return 0; } void swap(int x,int y) { int temp; temp = x; x = y; y = temp; } int max(int x,int y) { if(x<y) return y; else return x; } 7、挖地雷 在一个地图上有N个地窖（N<=200）,每个地窖中埋有一定数量的地雷。同时，给出地窖之间的连接路径，并规定路径都是单向的。某人可以从任一处开始挖地雷，然后沿着指出的连接往下挖（仅能选择一条路径），当无连接时挖地雷工作结束。设计一个挖地雷的方案，使他能挖到最多的地雷。 【代码】 // // 挖雷问题 // // #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAXNUM 200 int n;//地窖的个数 int w[MAXNUM];//每个地窖中的地雷数 int Sum[MAXNUM];//挖到的地雷总数 int G[MAXNUM][MAXNUM];//形成的图 int next[MAXNUM];//记录路径 int max;//最大值 int start; //void init(int G[MAXNUM][MAXNUM]); //void init2(int n[MAXNUM]); int main() { int i,j,x,y; printf("输入地窖的个数n(1-200)：\n"); scanf("%d",&n); printf("输入各个地窖中的地雷数：\n"); for(i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&w[i]); } //init(G);//初始化有向图 printf("输入各个地窖之间的链接(x,y):\n"); scanf("%d,%d",&x,&y); while(x!=0&&y!=0) { G[x][y]=1; scanf("%d,%d",&x,&y); } //init2(Sum); Sum[n]=w[n]; for(i=n-1;i>=1;i--) { for(j=i+1;j<=n;j++) { if(G[i][j]&&Sum[j]>Sum[i]) { Sum[i]=Sum[j]; next[i]=j; } } Sum[i] += w[i]; } max = 0; for(i=1;i<=n;i++) { if(Sum[i]>max) { max=Sum[i]; start = i; } } printf("最大路径："); printf("%d-",start); while(next[start]!=0) { printf("%d-",next[start]); start = next[start]; } printf("最大挖雷数：%d\n",max); return 0; } 8、最小代价子母树 设有n堆沙子排成一排，其编号为1，2，3，…，n（n≤100）。每堆沙子有一定的数量，如下表 13 7 8 16 21 4 18 现在要将n堆沙子归并成一堆。归并的过程为每次只能将相邻的两堆沙子堆成一堆，这样经过n-1次归并之后最后成为一堆，如上面7堆沙子，可以有多种方法归并成一堆，归并的代价是这样定义的，将两堆沙子归并为一堆时，两堆沙子数量的和称为归并2堆沙子的代价。由此可见，不同归并过程得到的总的归并代价是不一样的。 问题：n堆沙子的数量给出之后，找出一种合理的归并方法，使总的归并代价为最小。 [输入格式] n {表示沙子的堆数, 2<=n<=100} a1 a2 … an {表示每堆沙子的数量,1<=Ai<=100} [输出格式] x {表示最小的归并总代价 } 输入样例： 7 13 7 8 16 21 4 18 输出样例： 239 【代码】 // // 练习3 最小代价子母树 // // 沙堆归并问题 // // #include <STDIO.H> #include <STDLIB.H> #define INF 1000000 #define MAXNUM 100 int n;//沙子的堆数 int Num[MAXNUM];//每堆沙子的数量 int F[MAXNUM][MAXNUM];//过程函数 int G[MAXNUM][MAXNUM]; int fnMin(int ,int ); //返回两个数的最小值 int main() { int i,j,k,m,L,t; printf("输入沙堆的堆数n(1-100)：\n"); scanf("%d",&n); printf("输入每堆中沙子的个数：\n"); for(i=1; i<=n; i++) { scanf("%d",&Num[i]); G[i][i]=Num[i]; F[i][i]=0; } for (m=n-1;m>=1;m--) { for (i=1;i<=m;i++) { L=n-m+1; j=i+L-1; for (k=i;k<=j;k++) { G[i][j]=G[i][j]+G[k][k]; } F[i][j]=INF; for (k=i;k<=j-1;k++) { t=F[i][k]+F[k+1][j]+G[i][j]; if (t<F[i][j]) { F[i][j]=t; } } } } printf("最小代价：%d\n",F[1][n]); return 0; } 9、数字移动问题 给出一个1到n的排列，每次可以移动一个数到一个任意位置。问要达到状态1,2,3……n至少移动多少次？ Sample Input 5 2 1 4 5 3 Sample Output 2 【代码】 // // 练习4 数字移动 // // #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAXNUM 100//最大数字个数 #define INF 100000000 int n;//数字个数 int Num[MAXNUM];//未排序数字 int Last[MAXNUM]; void update(int x,int y,int L[],int N[],int i); //递归函数 int main() { int i,j; int lis; printf("输入数字的个数n(1-100)：\n"); scanf("%d",&n); printf("输入数字：\n"); for(i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&Num[i]); } lis = 0; Last[lis]=-INF; for(i=1;i<=n;i++) { if(Num[i]>Last[lis]) { lis++; Last[lis]=Num[i]; } else update(0,lis,Last,Num,i); } printf("最少移动次数：%d\n",n-lis); return 0; } void update(int x,int y,int L[],int N[],int i) { if(x==y) { L[x]=N[i]; } else { if(L[(x+y)/2]>N[i]) { update(x,(x+y)/2,L,N,i); } else { update((x+y)/2+1,y,L,N,i); } } } 10、叠放箱子问题 某港口有一批箱子，将其编号，分别为1至N。每一个箱子的尺寸规格是一样的，现在要将其中某些箱子叠放起来，箱子叠放的规则如下： 一、每个箱子上最多只能直接叠放一个箱子； 二、编号较小的箱子不能放在编号较大的箱子之上； 三、每个箱子都给出了自身重量与可承受重量，每个箱子之上的所有箱子重量之和不得超过该箱的可承受重量。 为了节约堆放场地，希望你编程从中选出最多个箱子，使之能够在满足条件的情况下叠放起来。 【输入】 第一行是一个整数N（1≤N≤1000）。 以下共有N行，每行两个整数，中间以空格分隔，分别表示每个箱子的自身重量与可承受重量，两个数值均为小于等于3000的正整数。 【输出】 第一行应当输出最多可叠放的箱子总数M。 【样例】有五个箱子，如下表： 1 19 15 2 7 13 3 5 7 4 6 8 5 1 2 则最多可以叠放4个箱子，方案之一如：1、2、3、5 【代码】 // // 叠放箱子问题 // // #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAXNUM 1000//最大的箱子个数 #define MAXWIGHT 3000// int n;//箱子数目 int F[MAXNUM+1][6000];//第i个箱子到第n个箱子中总重量为j的最大箱子数 int Weight[MAXNUM];//箱子重量 int Capacity[MAXNUM];//箱子所能承受的压力 int max(int ,int ); //返回两个数的最大值 int main() { int i,j,ans; printf("输入箱子的个数n(1-1000):\n");; scanf("%d",&n); printf("分别输入箱子的重量和能承受的重量(x y):\n"); for(i=1; i<=n; i++) scanf("%d %d",&Weight[i],&Capacity[i]); F[n+1][0] = 0; for(i=n; i>=1; i--) { for(j=0; j<=2*MAXWIGHT; j++) { F[i][j]=F[i+1][j]; if(j>=Weight[i]&&Capacity[i]>=j-Weight[i]) { F[i][j]=max(F[i][j],F[i+1][j-Weight[i]]+1); } } } ans=0; for(i=0; i<=6000; i++) ans = max(ans,F[1][i]); printf("最大叠放：%d",ans); return 0; } int max(int x,int y) { if(x>y) return x; else return y; }
参考资料
1 斯坦福大学自然语言处理第三课“最小编辑距离（Minimum Edit Distance）
2 Stanford Natural Language Processing
扩展小结：
1. edit distance 和 interleaving string这两道题目的共性是都用到了2D的 DP，都在处理String
2.常见动态规划问题分析
