狄利克雷卷积与莫比乌斯反演

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狄利克雷卷积：

给出 元素为数论函数的集合G，与二元运算符 *，定义f * g 狄利克雷卷积：

运算满足：

交换律：

结合律

单位元

逆元

特别地，狄利克雷卷积的逆元：

莫比乌斯反演：

有数论函数f, g

其中μ是莫比乌斯函数：

根据莫比乌斯函数的重要性质：

显然：莫比乌斯函数的逆元

因为把上面这个性质改写一下：

根据定义即可得出莫比乌斯函数的逆元（逆函数） 为 1

这样，莫比乌斯反演就可以证明了：因为

写成狄利克雷卷积的形式就是：

即可得到

展开来写也就是

运用简单的换元小法术，即可得到莫比乌斯反演的结论：

最后

为什么再写一遍这个莫比乌斯反演。

当初学习莫比乌斯反演的时候，只当这是找规律得到的性质。

现在学习到狄利克雷卷积这种运算，重新证明了一遍莫比乌斯反演的结论。

于是感叹抽象代数的魅力qwq…