在集成学习原理小结中，我们已经讲到了boosting算法系列的基本思想，如下图：
从图中可以看出，Boosting算法的工作机制是首先从训练集用初始权重训练出一个弱学习器1，根据弱学习的学习误差率表现来更新训练样本的权重，使得之前弱学习器1学习误差率高的训练样本点的权重变高，使得这些误差率高的点在后面的弱学习器2中得到更多的重视。然后基于调整权重后的训练集来训练弱学习器2.，如此重复进行，直到弱学习器数达到事先指定的数目T，最终将这T个弱学习器通过集合策略进行整合，得到最终的强学习器。
不过有几个具体的问题Boosting算法没有详细说明。
1）如何计算学习误差率e?
2) 如何得到弱学习器权重系数 α α?
3）如何更新样本权重D?
4) 使用何种结合策略？
只要是boosting大家族的算法，都要解决这4个问题。那么Adaboost是怎么解决的呢？
我们这里讲解Adaboost是如何解决上一节这4个问题的。
假设我们的训练集样本是
T={(x,y1),(x2,y2),...(xm,ym)} T={(x,y1),(x2,y2),...(xm,ym)}训练集的在第k个弱学习器的输出权重为
D(k)=(wk1,wk2,...wkm);w1i=1m;i=1,2...m D(k)=(wk1,wk2,...wkm);w1i=1m;i=1,2...m
首先我们看看Adaboost的分类问题。
分类问题的误差率很好理解和计算。由于多元分类是二元分类的推广，这里假设我们是二元分类问题，输出为{-1，1}，则第k个弱分类器 Gk(x) Gk(x)在训练集上的加权误差率为
ek=P(Gk(xi)≠yi)=∑i=1mwkiI(Gk(xi)≠yi) ek=P(Gk(xi)≠yi)=∑i=1mwkiI(Gk(xi)≠yi)接着我们看弱学习器权重系数,对于二元分类问题，第k个弱分类器 Gk(x) Gk(x)的权重系数为
αk=12log1−ekek αk=12log1−ekek为什么这样计算弱学习器权重系数？从上式可以看出，如果分类误差率 ek ek越大，则对应的弱分类器权重系数 αk αk越小。也就是说，误差率小的弱分类器权重系数越大。具体为什么采用这个权重系数公式，我们在讲Adaboost的损失函数优化时再讲。
第三个问题，更新更新样本权重D。假设第k个弱分类器的样本集权重系数为 D(k)=(wk1,wk2,...wkm) D(k)=(wk1,wk2,...wkm)，则对应的第k+1个弱分类器的样本集权重系数为
wk+1,i=wkiZKexp(−αkyiGk(xi)) wk+1,i=wkiZKexp(−αkyiGk(xi))这里 Zk Zk是规范化因子
Zk=∑i=1mwkiexp(−αkyiGk(xi)) Zk=∑i=1mwkiexp(−αkyiGk(xi))从 wk+1,i wk+1,i计算公式可以看出，如果第i个样本分类错误，则 yiGk(xi)<0 yiGk(xi)<0，导致样本的权重在第k+1个弱分类器中增大，如果分类正确，则权重在第k+1个弱分类器中减少.具体为什么采用样本权重更新公式，我们在讲Adaboost的损失函数优化时再讲。
最后一个问题是集合策略。Adaboost分类采用的是加权平均法，最终的强分类器为
f(x)=sign(∑k=1KαkGk(x)) f(x)=sign(∑k=1KαkGk(x))
接着我们看看Adaboost的回归问题。由于Adaboost的回归问题有很多变种，这里我们以Adaboost R2算法为准。
我们先看看回归问题的误差率的问题，对于第k个弱学习器，计算他在训练集上的最大误差
Ek=max|yi−Gk(xi)|i=1,2...m Ek=max|yi−Gk(xi)|i=1,2...m然后计算每个样本的相对误差
eki=|yi−Gk(xi)|Ek eki=|yi−Gk(xi)|Ek这里是误差损失为线性时的情况，如果我们用平方误差，则 eki=(yi−Gk(xi))2E2k eki=(yi−Gk(xi))2Ek2,如果我们用的是指数误差，则 eki=1−exp（−yi+Gk(xi))Ek） eki=1−exp（−yi+Gk(xi))Ek）
最终得到第k个弱学习器的 误差率
ek=∑i=1mwkieki ek=∑i=1mwkieki我们再来看看如何得到弱学习器权重系数 α α。这里有：
αk=ek1−ek αk=ek1−ek对于更新更新样本权重D，第k+1个弱学习器的样本集权重系数为
wk+1,i=wkiZkα1−ekik wk+1,i=wkiZkαk1−eki这里 Zk Zk是规范化因子
Zk=∑i=1mwkiα1−ekik Zk=∑i=1mwkiαk1−eki最后是结合策略，和分类问题一样，采用的也是加权平均法，最终的强回归器为
f(x)=∑k=1K(ln1αk)Gk(x) f(x)=∑k=1K(ln1αk)Gk(x)刚才上一节我们讲到了分类Adaboost的弱学习器权重系数公式和样本权重更新公式。但是没有解释选择这个公式的原因，让人觉得是魔法公式一样。其实它可以从Adaboost的损失函数推导出来。
从另一个角度讲， Adaboost是模型为加法模型，学习算法为前向分步学习算法，损失函数为指数函数的分类问题。
模型为加法模型好理解，我们的最终的强分类器是若干个弱分类器加权平均而得到的。
前向分步学习算法也好理解，我们的算法是通过一轮轮的弱学习器学习，利用前一个弱学习器的结果来更新后一个弱学习器的训练集权重。也就是说，第k-1轮的强学习器为
fk−1(x)=∑i=1k−1αiGi(x) fk−1(x)=∑i=1k−1αiGi(x)而第k轮的强学习器为
fk(x)=∑i=1kαiGi(x) fk(x)=∑i=1kαiGi(x)上两式一比较可以得到
fk(x)=fk−1(x)+αkGk(x) fk(x)=fk−1(x)+αkGk(x)可见强学习器的确是通过前向分步学习算法一步步而得到的。
Adaboost损失函数为指数函数，即定义损失函数为
argminα,G∑i=1mexp(−yifk(x)) argmin⏟α,G∑i=1mexp(−yifk(x))利用前向分步学习算法的关系可以得到损失函数为
(αk,Gk(x))=argminα,G∑i=1mexp[(−yi)(fk−1(x)+αG(x))] (αk,Gk(x))=argmin⏟α,G∑i=1mexp[(−yi)(fk−1(x)+αG(x))]令 w′ki=exp(−yifk−1(x)) wki′=exp(−yifk−1(x)), 它的值不依赖于 α,G α,G,因此与最小化无关，仅仅依赖于 fk−1(x) fk−1(x),随着每一轮迭代而改变。
将这个式子带入损失函数,损失函数转化为
(αk,Gk(x))=argminα,G∑i=1mw′kiexp[−yiαG(x)] (αk,Gk(x))=argmin⏟α,G∑i=1mwki′exp[−yiαG(x)]首先，我们求 Gk(x) Gk(x).，可以得到
Gk(x)=argminG∑i=1mw′kiI(yi≠G(xi)) Gk(x)=argmin⏟G∑i=1mwki′I(yi≠G(xi))将 Gk(x) Gk(x)带入损失函数，并对 α α求导，使其等于0，则就得到了
αk=12log1−ekek αk=12log1−ekek其中， ek ek即为我们前面的分类误差率。
ek=∑i=1mw′kiI(yi≠G(xi))∑i=1mw′ki=∑i=1mwkiI(yi≠G(xi)) ek=∑i=1mwki′I(yi≠G(xi))∑i=1mwki′=∑i=1mwkiI(yi≠G(xi))最后看样本权重的更新。利用 fk(x)=fk−1(x)+αkGk(x) fk(x)=fk−1(x)+αkGk(x)和 w′ki=exp(−yifk−1(x)) wki′=exp(−yifk−1(x))，即可得：
w′k+1,i=w′kiexp[−yiαkGk(x)] wk+1,i′=wki′exp[−yiαkGk(x)]这样就得到了我们第二节的样本权重更新公式。
这里我们对AdaBoost二元分类问题算法流程做一个总结。
输入为样本集 T={(x,y1),(x2,y2),...(xm,ym)} T={(x,y1),(x2,y2),...(xm,ym)}，输出为{-1, +1}，弱分类器算法, 弱分类器迭代次数K。
输出为最终的强分类器 f(x) f(x)
1) 初始化样本集权重为
D(1)=(w11,w12,...w1m);w1i=1m;i=1,2...m D(1)=(w11,w12,...w1m);w1i=1m;i=1,2...m2) 对于k=1,2，...K:
a) 使用具有权重 Dk Dk的样本集来训练数据，得到弱分类器 Gk(x) Gk(x)
b)计算 Gk(x) Gk(x)的分类误差率
ek=P(Gk(xi)≠yi)=∑i=1mwkiI(Gk(xi)≠yi) ek=P(Gk(xi)≠yi)=∑i=1mwkiI(Gk(xi)≠yi)c) 计算弱分类器的系数
αk=12log1−ekek αk=12log1−ekekd) 更新样本集的权重分布
wk+1,i=wkiZKexp(−αkyiGk(xi))i=1,2,...m wk+1,i=wkiZKexp(−αkyiGk(xi))i=1,2,...m这里 Zk Zk是规范化因子
Zk=∑i=1mwkiexp(−αkyiGk(xi)) Zk=∑i=1mwkiexp(−αkyiGk(xi))3) 构建最终分类器为：
f(x)=sign(∑k=1KαkGk(x)) f(x)=sign(∑k=1KαkGk(x))
对于Adaboost多元分类算法，其实原理和二元分类类似，最主要区别在弱分类器的系数上。比如Adaboost SAMME算法，它的弱分类器的系数
αk=12log1−ekek+log(R−1) αk=12log1−ekek+log(R−1)其中R为类别数。从上式可以看出，如果是二元分类，R=2，则上式和我们的二元分类算法中的弱分类器的系数一致。
这里我们对AdaBoost回归问题算法流程做一个总结。AdaBoost回归算法变种很多，下面的算法为Adaboost R2回归算法过程。
输入为样本集 T={(x,y1),(x2,y2),...(xm,ym)} T={(x,y1),(x2,y2),...(xm,ym)}，，弱学习器算法, 弱学习器迭代次数K。
输出为最终的强学习器 f(x) f(x)
1) 初始化样本集权重为
D(1)=(w11,w12,...w1m);w1i=1m;i=1,2...m D(1)=(w11,w12,...w1m);w1i=1m;i=1,2...m2) 对于k=1,2，...K:
a) 使用具有权重 Dk Dk的样本集来训练数据，得到弱学习器 Gk(x) Gk(x)
b) 计算训练集上的最大误差
Ek=max|yi−Gk(xi)|i=1,2...m Ek=max|yi−Gk(xi)|i=1,2...mc) 计算每个样本的相对误差:
如果是线性误差，则 eki=|yi−Gk(xi)|Ek eki=|yi−Gk(xi)|Ek；
如果是平方误差，则 eki=(yi−Gk(xi))2E2k eki=(yi−Gk(xi))2Ek2
如果是指数误差，则 eki=1−exp（−yi+Gk(xi))Ek） eki=1−exp（−yi+Gk(xi))Ek）
d) 计算回归误差率
ek=∑i=1mwkieki ek=∑i=1mwkiekic) 计算弱学习器的系数
αk=ek1−ek αk=ek1−ekd) 更新样本集的权重分布为
wk+1,i=wkiZkα1−ekik wk+1,i=wkiZkαk1−eki这里 Zk Zk是规范化因子
Zk=∑i=1mwkiα1−ekik Zk=∑i=1mwkiαk1−eki3) 构建最终强学习器为：
f(x)=∑k=1K(ln1αk)Gk(x) f(x)=∑k=1K(ln1αk)Gk(x)为了防止Adaboost过拟合，我们通常也会加入正则化项，这个正则化项我们通常称为步长(learning rate)。定义为 ν ν,对于前面的弱学习器的迭代
fk(x)=fk−1(x)+αkGk(x) fk(x)=fk−1(x)+αkGk(x)如果我们加上了正则化项，则有
fk(x)=fk−1(x)+ναkGk(x) fk(x)=fk−1(x)+ναkGk(x)ν ν的取值范围为 0<ν≤1 0<ν≤1。对于同样的训练集学习效果，较小的 ν ν意味着我们需要更多的弱学习器的迭代次数。通常我们用步长和迭代最大次数一起来决定算法的拟合效果。
到这里Adaboost就写完了，前面有一个没有提到，就是弱学习器的类型。理论上任何学习器都可以用于Adaboost.但一般来说，使用最广泛的Adaboost弱学习器是决策树和神经网络。对于决策树，Adaboost分类用了CART分类树，而Adaboost回归用了CART回归树。
这里对Adaboost算法的优缺点做一个总结。
Adaboost的主要优点有：
1）Adaboost作为分类器时，分类精度很高
2）在Adaboost的框架下，可以使用各种回归分类模型来构建弱学习器，非常灵活。
3）作为简单的二元分类器时，构造简单，结果可理解。
4）不容易发生过拟合
Adaboost的主要缺点有：
1）对异常样本敏感，异常样本在迭代中可能会获得较高的权重，影响最终的强学习器的预测准确性。
