坏学生旁听数学建模——作业一

终于蹭到了心心念的数学建模课，尽管不知道对未来意味着什么，我还是选择了旁听这门课，撂下了Web应用，不管了，以下是第一份实验报告。

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一、实验内容

1、数学建模示例（三）：药物中毒的施救

2、建立数学模型分析题（习题8（4）-（5））

3、微分方程数值解及MATLAB实现

二、实验题目

（一）题目一

题目： 药物中毒施救模型延伸 利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子（血液总量为2000ml）及成人（血液总量为4000ml）服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。问题分析 由1.5节可知， {dxdt=−λxdydt=λx−μy , 结合当前题意，设 孩子至少服用 Nc1 片药片，成人至少服用 Na1 片药片，引起严重中毒； 孩子至少服用 Nc2 片药片，成人至少服用 Na2 片药片，致命， 也就是求解在 x(0)=100N(mg),(N∈Nc1,Na1,Nc2,Na2),y(0)=0(mg) 时的上述方程组。模型建立 {dxdt=−λxdydt=λx−μy , x(0)=100N(mg),(N∈Nc1,Na1,Nc2,Na2) , y(0)=0(mg) , λ=ln25,μ=ln26 ,

解决方法及MATLAB程序代码 通过MATLAB解得方程 Trial>> x=dsolve(′Dx=−log(2)/5∗x′,′x(0)=100∗N′,′t′) x = 100∗N∗exp(−(t∗log(2))/5) Trial>> y=dsolve(′Dy=C∗exp(−v∗t)−u∗y′,′y(0)=0′,′t′) y = (C∗exp(t∗u−t∗v)∗exp(−t∗u))/(u−v)−(C∗exp(−t∗u))/(u−v) 其中的C表示100*N*log(2)/5，v表示log(2)/5， u表示log(2)/6， 得到的 ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x=100∗N∗e−t∗ln25y=100∗N∗ln25ln26−ln25∗(e−tln25−e−tln26) ， 令 y′=0 ，解得 tmax=30∗ln(65)ln2 ，即在 t=tmax 时，y取最大值。 由题意可知，孩子出现严重中毒时为 200(mg) ，致命时为 400(mg) ， 成人出现严重中毒时为 400(mg) ，致命时为 800(mg) ， 由MATLAB，利用getN函数（具体实现如下）解N的值，并使用getFun函数（具体实现如下）绘制图像 Trial>> Nc1 = getN(200) Nc1 = 4.9766 Trial>> Nc2 = getN(400) Nc2 = 9.9533 Trial>> Na1 = getN(400) Na1 = 9.9533 Trial>> Na2 = getN(800) Na2 = 19.9066 Trial>> getFun(Nc1) Trial>> getFun(Nc2) Trial>> getFun(Na1) Trial>> getFun(Na2) Trial>> legend(‘孩子严重’,’孩子致命’,’成人严重’,’成人致命’) grid on getN函数如下：

function N = getN(Min) %在给定浓度下，求解药物服用。其中Min是最低药物中毒的浓度 v = log(2) / 5; u = log(2) / 6; x = log(6/5); N = (u - v) * Min / (100 * v * (exp(-6 * x) - exp(-5 * x))); end

getFun函数如下：

function getFun( N) %t表示时间，y表示血液药物量，函数用于生成y-t函数图像 t = 1:0.01:24; v = log(2) / 5; u = log(2) / 6; y = 100 * N * v * ( exp(t * v * -1) - exp(t * u * -1)) / (u - v); plot(t, y); hold on; end实验结果

（二）题目二

题目1：某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6:00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家，一日他提前下班搭早一班火车于5:30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前了10min，问他步行了多长时间。问题分析 假设正常从车站驾车到家，使用了t分钟； 由于提前10分钟到家，则单程提前了5分钟； 又设步行tx分钟，由此可以的到 6:00 + t = 5:30 + tx + t - 5 + 10模型建立 解上面的方程，得 tx = 6:00 - 5:30 - 5 = 25分钟实验结果 解得他步行了25分钟。题目2：一男孩和一女孩分别在离家2km和1km且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4km/h和2km/h的速度步行会见，一只小狗以6km/h的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩奔向男孩，如此往返知道会小狗奔波了多少路程。 如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何处。问题分析 假设男孩与女孩家都在一点，并将其作为原点，建立一维数轴， 则学校1坐标是-2，学校2坐标是1，取数轴正方向为速度正方向； 则男孩经过的坐标为-2 + 4 * t, 女孩经过的坐标为 1 - 2 * t, 小狗的坐标为xOfDog= {−6∗t+xd,v<06∗t+xd,v>0 其中的x_{d}是小狗当前的初始点,起始为0； 以上0 \leq t \leq 0.5.模型建立 −2+4∗t=xOfDog ，解得的点作为x_{0}的新值，并将速度反向； 1−2∗t=xOfDog ， 解得的点作为x_{0}的新值，并将速度反向； 重新建立起上述方程，循环求解，至她们到家。

解决方法及MATLAB程序代码 解决方法，使用程序循环求解上述模型

xd = 0;%表示小狗运动曲线的参数 t = 0;%初始时间为0 dis = 0;%表示所经过的距离 while(abs(t - 0.5) > 1e-6)%如果时间大于等于0.5，则跳出循环 t = (xd + 2) / 10;%建立男孩与小狗运动的方程，并求解，得相遇时间 if(abs(t - 0.5) < 1e-6) %如果时间大于等于0.5，则跳出循环 break; end dis = dis + 6 * t;%累计路程 xd = -6 * 2 * t + xd;%更新运动曲线参数 t = (1 - xd) / 8;%建立女孩与小狗运动的方程，并求解，得相遇时间 if(abs(t - 0.5) < 1e-6) break; end dis = dis + 6 * t;%累计路程 xd = 6 * 2 * t + xd;%更新运动曲线参数 end disp(dis);%显示运算结果 clear

实验结果 在命令窗口中输入：BoyGirlDog

显示：30.5000

（三）题目三

题目：微分方程的求解问题分析：使用MATLAB函数求解微分方程模型建立：求解 dydx+μy=1100λe−λt ，在以t为自变量,y(2) = 236.5的条件下的解。解决方法及MATLAB程序代码 dsolve(′Dy=1100∗0.1386∗exp(−0.1386∗t)−0.4885∗y′,′y(2)=236.5′,′t′) ;实验结果 ans = exp(−(977t)/2000)((473exp(977/1000))/2−(1524600exp(3499/5000))/3499)+(1524600exp(−(977t)/2000)exp((3499t)/10000))/3499

三、实验总结

数学建模关键是将文字等信息转化为数学模型，其过程是建模之后借助于工具对问题求解的过程。以下是对MATLAB使用的总结： 编写函数时，要将函数名与文件名相同，函数格式function 返回值 函数名(函数参数) 函数体 end 其中的返回值，在函数体内直接赋值，不需要return语句返回具体的返回值，此处与C／C++等语言不同，见题目一getN函数。grid on也可以将图标用网格进行划分； legend(‘孩子严重’,’孩子致命’,’成人严重’,’成人致命’)，分别标志图线1，图线2，图线3，图线4的名称。对于MATLAB中的dsolve()函数，得到的是一个特解，对于复杂的微分方程，可能求得的解并不准确，需要检验disp()函数用于输出变量名，至于print则是用于输出文件，此处与C／C++等语言不同。

四、参考文献

函数的编写，参考于http://www.cnblogs.com/luxiaolai/p/4011941.html关于以E底的对数函数：参考于http://blog.sina.com.cn/s/blog_56ef652d0100ebez.html曲线上加标注，参考于http://blog.sina.com.cn/s/blog_5bb18383010127v1.html其中数学公式的实现，参考于http://blog.sina.com.cn/s/blog_78a6df1d0101630x.html