线性回归的补充与变量归一化

紧接上一篇博客，多变量梯度下降法的表达式形式与单变量一致，只是变量的扩充以及每次迭代需要对每个变量进行操作（同样是所有变量一次性更新）。假设函数、代价函数和梯度下降的表达式分别如下： $$h_{\theta }(x)={\theta }^{T}x$$$$J(\theta )=\frac{1}{2m}\sum _{i=0}^m(h_{\theta }(x_i)-y_i{)}^2$$KaTeX parse error: No such environment: align at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲\theta_j:=\thet… 对于多变量，往往每个特征变量的取值范围差异很大，在利用梯度下降法进行迭代运算求$J(\theta )$的最小值时，迭代路径受数值大的变量影响较大，而数值小的变量可能会在最优值附近反复振荡，造成迭代路径的曲折，收敛缓慢。因此为了更快收敛，一般把各变量归一化成取值范围大概一致（feature scaling）。一般取$-1\le x_i\le 1$或者$-0.5\le x_i\le 0.5$，（不是严格规定）。对于一个一般变量，通常取$$x_i:=\frac{x_i-{\mu }_i}{s_i}$$这里${\mu }_i$是$x_i$的样本平均值，$s_i$是取值范围（max - min），或者$s_i$取为标准差。

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对于回归问题，显然假设函数$h_{\theta }(x)$并不是与每个特征变量均成线性关系，可能会出现如$h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2^2 $的形式，这称为多项式回归（Polynomial Regression）。

但是，可以通过适当变形把其转变为线性回归。在此例子中，令$x_2=x_2^2$，则$h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2$。此外，可令$x_3=x_1{x}_2$，$x_4=\sqrt{x_1}$等各种不同方式对变量变形，使其成为线性回归问题。运用变形后，变量范围的归一化就变得尤为重要。

另一种解线性回归问题的方法是标准方程法（Normal Equation），运用该方法，可以不需要迭代而直接求出$\theta$。该方程如下：$$\theta =(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$$ 这里$\theta =\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\theta }_1\\ {\theta }_2\\ ...\end{array}\right]$，$y=\left[\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ y_2\\ ...\end{array}\right]$，$X=\left[\begin{array}{cccc}{x}_0^{(1)}& x_1^{(1)}& x_2^{(1)}& ...\\ x_0^{(2)}& x_1^{(2)}& x_2^{(2)}& ...\\ x_0^{(3)}& x_1^{(3)}& x_2^{(3)}& ...\\ ...& ...& ...& ...\end{array}\right]$ 例子如下：

这个结论来源于线性代数中的投影，具体推导参考http://open.163.com/movie/2010/11/J/U/M6V0BQC4M_M6V2AJLJU.html

梯度下降法和标准方程法的比较：

Gradient DescentNormal Equation需要选择合适的参数$\alpha$不需要选择参数需要多次迭代不需要迭代算法复杂度$O(k{n}^2)$$O(n^3)$，因要计算$X^{T}X$的逆矩阵当样本数n很大时依然高效样本数n很大时计算慢

如果$X^{T}X$不可逆，有以下两方面原因： 1、存在多余的特征变量，如其中两个特征变量存在线性关系，如$x_2=2x_1$； 2、相比较样本数据，特征变量太多，即$m<n$，这里$m$是样本个数，$n$是特征变量个数

在Octave/Matlab中，用pinv()代替inv()实现矩阵取逆，即使矩阵不可逆时也可以得到正确的结果。 即标准方程的代码实现为：

theta = pinv(X'*X)*X'*y;