在循环神经网络(RNN)模型与前向反向传播算法中，我们总结了对RNN模型做了总结。由于RNN也有梯度消失的问题，因此很难处理长序列的数据，大牛们对RNN做了改进，得到了RNN的特例LSTM（Long Short-Term Memory），它可以避免常规RNN的梯度消失，因此在工业界得到了广泛的应用。下面我们就对LSTM模型做一个总结。
在RNN模型里，我们讲到了RNN具有如下的结构，每个序列索引位置t都有一个隐藏状态 h(t) h(t)。
如果我们略去每层都有的 o(t),L(t),y(t) o(t),L(t),y(t)，则RNN的模型可以简化成如下图的形式：
图中可以很清晰看出在隐藏状态 h(t) h(t)由 x(t) x(t)和 h(t−1) h(t−1)得到。得到 h(t) h(t)后一方面用于当前层的模型损失计算，另一方面用于计算下一层的 h(t+1) h(t+1)。
由于RNN梯度消失的问题，大牛们对于序列索引位置t的隐藏结构做了改进，可以说通过一些技巧让隐藏结构复杂了起来，来避免梯度消失的问题，这样的特殊RNN就是我们的LSTM。由于LSTM有很多的变种，这里我们以最常见的LSTM为例讲述。LSTM的结构如下图：
可以看到LSTM的结构要比RNN的复杂的多，真佩服牛人们怎么想出来这样的结构，然后这样居然就可以解决RNN梯度消失的问题？由于LSTM怎么可以解决梯度消失是一个比较难讲的问题，我也不是很熟悉，这里就不多说，重点回到LSTM的模型本身。
上面我们给出了LSTM的模型结构，下面我们就一点点的剖析LSTM模型在每个序列索引位置t时刻的内部结构。
从上图中可以看出，在每个序列索引位置t时刻向前传播的除了和RNN一样的隐藏状态 h(t) h(t)，还多了另一个隐藏状态，如图中上面的长横线。这个隐藏状态我们一般称为细胞状态(Cell State)，记为 C(t) C(t)。如下图所示：
除了细胞状态，LSTM图中还有了很多奇怪的结构，这些结构一般称之为门控结构(Gate)。LSTM在在每个序列索引位置t的门一般包括遗忘门，输入门和输出门三种。下面我们就来研究上图中LSTM的遗忘门，输入门和输出门以及细胞状态。
遗忘门（forget gate）顾名思义，是控制是否遗忘的，在LSTM中即以一定的概率控制是否遗忘上一层的隐藏细胞状态。遗忘门子结构如下图所示：
图中输入的有上一序列的隐藏状态 h(t−1) h(t−1)和本序列数据 x(t) x(t)，通过一个激活函数，一般是sigmoid，得到遗忘门的输出 f(t) f(t)。由于sigmoid的输出 f(t) f(t)在[0,1]之间，因此这里的输出f^{(t)}代表了遗忘上一层隐藏细胞状态的概率。用数学表达式即为：
f(t)=σ(Wfh(t−1)+Ufx(t)+bf) f(t)=σ(Wfh(t−1)+Ufx(t)+bf)其中 Wf,Uf,bf Wf,Uf,bf为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。 σ σ为sigmoid激活函数。
输入门（input gate）负责处理当前序列位置的输入，它的子结构如下图：
从图中可以看到输入门由两部分组成，第一部分使用了sigmoid激活函数，输出为 i(t) i(t),第二部分使用了tanh激活函数，输出为 a(t) a(t), 两者的结果后面会相乘再去更新细胞状态。用数学表达式即为：
i(t)=σ(Wih(t−1)+Uix(t)+bi) i(t)=σ(Wih(t−1)+Uix(t)+bi) a(t)=tanh(Wah(t−1)+Uax(t)+ba) a(t)=tanh(Wah(t−1)+Uax(t)+ba)其中 Wi,Ui,bi,Wa,Ua,ba, Wi,Ui,bi,Wa,Ua,ba,为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。 σ σ为sigmoid激活函数。
在研究LSTM输出门之前，我们要先看看LSTM之细胞状态。前面的遗忘门和输入门的结果都会作用于细胞状态 C(t) C(t)。我们来看看从细胞状态 C(t−1) C(t−1)如何得到 C(t) C(t)。如下图所示：
细胞状态 C(t) C(t)由两部分组成，第一部分是 C(t−1) C(t−1)和遗忘门输出 f(t) f(t)的乘积，第二部分是输入门的 i(t) i(t)和 a(t) a(t)的乘积，即：
C(t)=C(t−1)⊙f(t)+i(t)⊙a(t) C(t)=C(t−1)⊙f(t)+i(t)⊙a(t)其中， ⊙ ⊙为Hadamard积，在DNN中也用到过。
有了新的隐藏细胞状态 C(t) C(t)，我们就可以来看输出门了，子结构如下：
从图中可以看出，隐藏状态 h(t) h(t)的更新由两部分组成，第一部分是 o(t) o(t), 它由上一序列的隐藏状态 h(t−1) h(t−1)和本序列数据 x(t) x(t)，以及激活函数sigmoid得到，第二部分由隐藏状态 C(t) C(t)和tanh激活函数组成, 即：
o(t)=σ(Woh(t−1)+Uox(t)+bo) o(t)=σ(Woh(t−1)+Uox(t)+bo) h(t)=o(t)⊙tanh(C(t)) h(t)=o(t)⊙tanh(C(t))通过本节的剖析，相信大家对于LSTM的模型结构已经有了解了。当然，有些LSTM的结构和上面的LSTM图稍有不同，但是原理是完全一样的。
现在我们来总结下LSTM前向传播算法。LSTM模型有两个隐藏状态 h(t),C(t) h(t),C(t)，模型参数几乎是RNN的4倍，因为现在多了 Wf,Uf,bf,Wa,Ua,ba,Wi,Ui,bi,Wo,Uo,bo Wf,Uf,bf,Wa,Ua,ba,Wi,Ui,bi,Wo,Uo,bo这些参数。
前向传播过程在每个序列索引位置的过程为：
1）更新遗忘门输出：
f(t)=σ(Wfh(t−1)+Ufx(t)+bf) f(t)=σ(Wfh(t−1)+Ufx(t)+bf)2）更新输入门两部分输出：
i(t)=σ(Wih(t−1)+Uix(t)+bi) i(t)=σ(Wih(t−1)+Uix(t)+bi) a(t)=tanh(Wah(t−1)+Uax(t)+ba) a(t)=tanh(Wah(t−1)+Uax(t)+ba)3）更新细胞状态：
C(t)=C(t−1)⊙f(t)+i(t)⊙a(t) C(t)=C(t−1)⊙f(t)+i(t)⊙a(t)4）更新输出门输出：
o(t)=σ(Woh(t−1)+Uox(t)+bo) o(t)=σ(Woh(t−1)+Uox(t)+bo) h(t)=o(t)⊙tanh(C(t)) h(t)=o(t)⊙tanh(C(t))5）更新当前序列索引预测输出：
y^(t)=σ(Vh(t)+c) y^(t)=σ(Vh(t)+c)有了LSTM前向传播算法，推导反向传播算法就很容易了， 思路和RNN的反向传播算法思路一致，也是通过梯度下降法迭代更新我们所有的参数，关键点在于计算所有参数基于损失函数的偏导数。
在RNN中，为了反向传播误差，我们通过隐藏状态 h(t) h(t)的梯度 δ(t) δ(t)一步步向前传播。在LSTM这里也类似。只不过我们这里有两个隐藏状态 h(t) h(t)和 C(t) C(t)。因此这里我们要定义两个 δ δ来一步步反向传播，即：
δ(t)h=∂L∂h(t) δh(t)=∂L∂h(t) δ(t)C=∂L∂C(t) δC(t)=∂L∂C(t)而在最后的序列索引位置 τ τ的 δ(τ)h δh(τ)和 δ(τ)C δC(τ)为：
δ(τ)h=∂L∂o(τ)∂o(τ)∂h(τ)=VT(y^(τ)−y(τ)) δh(τ)=∂L∂o(τ)∂o(τ)∂h(τ)=VT(y^(τ)−y(τ)) δ(τ)C=∂L∂h(τ)∂h(τ)∂C(τ)=δ(τ)h⊙o(τ)⊙(1−tanh2(C(τ))) δC(τ)=∂L∂h(τ)∂h(τ)∂C(τ)=δh(τ)⊙o(τ)⊙(1−tanh2(C(τ)))接着我们由 δ(t+1)h δh(t+1)和 δ(t+1)C δC(t+1)反向推导 δ(t)h δh(t)和 δ(t)C δC(t)
δ(t)h δh(t)的反向推导和RNN中的类似，因为它的梯度误差由前一层 δ(t+1)h δh(t+1)的梯度误差和本层的输出梯度误差两部分组成，即：
δ(t)h=∂L∂o(t)∂o(t)∂h(t)+∂L∂h(t+1)∂h(t+1)∂h(t)=VT(y^(t)−y(t))+WTδ(t+1)diag(1−(h(t+1))2) δh(t)=∂L∂o(t)∂o(t)∂h(t)+∂L∂h(t+1)∂h(t+1)∂h(t)=VT(y^(t)−y(t))+WTδ(t+1)diag(1−(h(t+1))2)而 δ(t)C δC(t)的反向梯度误差由前一层 δ(t+1)C δC(t+1)的梯度误差和本层的从 h(t) h(t)传回来的梯度误差两部分组成，即：
δ(t)C=∂L∂C(t+1)∂C(t+1)∂C(t)+∂L∂h(t)∂h(t)∂C(t)=δ(t+1)C+δ(t)h⊙o(t)⊙(1−tanh2(C(t))) δC(t)=∂L∂C(t+1)∂C(t+1)∂C(t)+∂L∂h(t)∂h(t)∂C(t)=δC(t+1)+δh(t)⊙o(t)⊙(1−tanh2(C(t)))有了 δ(t)h δh(t)和 δ(t)C δC(t)， 计算这一大堆参数的梯度就很容易了，这里只给出 Wf Wf的梯度计算过程，其他的 Uf,bf,Wa,Ua,ba,Wi,Ui,bi,Wo,Uo,bo，V,c Uf,bf,Wa,Ua,ba,Wi,Ui,bi,Wo,Uo,bo，V,c的梯度大家只要照搬就可以了。
∂L∂Wf=∑t=1τ∂L∂C(t)∂C(t)∂f(t)∂f(t)∂Wf=δ(t)C⊙C(t−1)⊙f(t)(1−f(t))(h(t−1))T ∂L∂Wf=∑t=1τ∂L∂C(t)∂C(t)∂f(t)∂f(t)∂Wf=δC(t)⊙C(t−1)⊙f(t)(1−f(t))(h(t−1))TLSTM虽然结构复杂，但是只要理顺了里面的各个部分和之间的关系，进而理解前向反向传播算法是不难的。当然实际应用中LSTM的难点不在前向反向传播算法，这些有算法库帮你搞定，模型结构和一大堆参数的调参才是让人头痛的问题。不过，理解LSTM模型结构仍然是高效使用的前提。
（欢迎转载，转载请注明出处。欢迎沟通交流： pinard.liu@ericsson.com）
1） Neural Networks and Deep Learning by By Michael Nielsen
2） Deep Learning, book by Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, and Aaron Courville
3） UFLDL Tutorial
4）Understanding-LSTMs
