数值分析 第三章 线性方程组的迭代法

    xiaoxiao2021-03-26  7

    系数矩阵

    符号 A 代表系数矩阵。

    严格对角占优

    i=1jinaij|aii|,i=1,2,...,n

    对称正定

    判定方法1:特征值全是正,且对称; 判定方法2:各阶顺序主子式全是正,且对称。

    系数矩阵的形式化说明

    A=DLU

    D=diag(a11,a22,...,ann)

    L=0a21a31...an10a32...an20......ann10

    U=0a120a13a23............0a1na2n...an1,n0

    迭代矩阵

    符号 M 代表系数矩阵。

    先验、后验误差

    x(k)xMk1Mx(1)x(0)

    x(k)xM1Mx(k)x(k1)

    收敛条件

    迭代矩阵 M 收敛ρ(M)<1; 迭代矩阵 M 收敛M<1.

    常用的迭代解法

    Jacobi迭代法 分量形式

    x(k+1)i=1aiibij=1i1aijx(k)jj=i+1naijx(k)j i=1,2,...,n;k=0,1,... 矩阵形式 B=D1(L+U) 收敛条件 (1) 系数矩阵 A 以及2DA都是对称正定矩阵 Jacobi迭代法收敛; (2) 系数矩阵 A 严格对角占优Jacobi迭代法收敛

    Gauss-Seidel迭代法 分量形式

    x(k+1)i=1aiibij=1i1aijx(k+1)jj=i+1naijx(k)j i=1,2,...,n;k=0,1,... 矩阵形式 G=(DL)1U 收敛条件 (1) 系数矩阵 A 是对称正定矩阵Gauss-Seidel迭代法收敛; (2) 系数矩阵 A 严格对角占优Gauss-Seidel迭代法收敛

    SOR迭代法 分量形式

    x(k+1)i=x(k)i+ωaiibij=1i1aijx(k+1)jj=inaijx(k)j i=1,2,...,n;k=0,1,... 矩阵形式1

    Sω=(DωL)1[(1ω)D+ωU]

    收敛条件 (1) SOR收敛 0<ω<2 ; (2)

    {A0<ω<2SOR (3) {A0<ω1SOR



    \pounds在编辑器中使用LaTex方式打不出来,因此将\pounds用S代替了。 ↩
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