符号 A 代表系数矩阵。
∑i=1j≠in∣∣aij∣∣⩽|aii|,i=1,2,...,n
判定方法1:特征值全是正,且对称; 判定方法2:各阶顺序主子式全是正,且对称。
A=D−L−U
D=diag(a11,a22,...,ann)
−L=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢0a21a31...an10a32...an20......ann−10⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥
−U=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢0a120a13a23............0a1na2n...an−1,n0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥
符号 M 代表系数矩阵。
∥∥x(k)−x∗∥∥⩽∥M∥k1−∥M∥∥∥x(1)−x(0)∥∥
∥∥x(k)−x∗∥∥⩽∥M∥1−∥M∥∥∥x(k)−x(k−1)∥∥
迭代矩阵 M 收敛⇔ρ(M)<1; 迭代矩阵 M 收敛⇐∥M∥<1.
Jacobi迭代法 分量形式
x(k+1)i=1aii⎛⎝bi−∑j=1i−1aijx(k)j−∑j=i+1naijx(k)j⎞⎠ i=1,2,...,n;k=0,1,... 矩阵形式 B=D−1(L+U) 收敛条件 (1) 系数矩阵 A 以及2D−A都是对称正定矩阵 ⇒ Jacobi迭代法收敛; (2) 系数矩阵 A 严格对角占优⇒Jacobi迭代法收敛Gauss-Seidel迭代法 分量形式
x(k+1)i=1aii⎛⎝bi−∑j=1i−1aijx(k+1)j−∑j=i+1naijx(k)j⎞⎠ i=1,2,...,n;k=0,1,... 矩阵形式 G=(D−L)−1U 收敛条件 (1) 系数矩阵 A 是对称正定矩阵⇒Gauss-Seidel迭代法收敛; (2) 系数矩阵 A 严格对角占优⇒Gauss-Seidel迭代法收敛SOR迭代法 分量形式
x(k+1)i=x(k)i+ωaii⎛⎝bi−∑j=1i−1aijx(k+1)j−∑j=inaijx(k)j⎞⎠ i=1,2,...,n;k=0,1,... 矩阵形式1Sω=(D−ωL)−1[(1−ω)D+ωU]
收敛条件 (1) SOR收敛 ⇒ 0<ω<2 ; (2)
{系数矩阵A是对称正定矩阵0<ω<2⇒SOR迭代法收敛 (3) {系数矩阵A严格对角占优0<ω⩽1⇒SOR迭代法收敛