数值分析 第三章 线性方程组的迭代法

系数矩阵

符号 A 代表系数矩阵。

严格对角占优

∑i=1j≠in∣∣aij∣∣⩽|aii|,i=1,2,...,n

对称正定

判定方法1：特征值全是正，且对称； 判定方法2：各阶顺序主子式全是正，且对称。

系数矩阵的形式化说明

A=D−L−U

D=diag(a11,a22,...,ann)

−L=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢0a21a31...an10a32...an20......ann−10⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

−U=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢0a120a13a23............0a1na2n...an−1,n0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

迭代矩阵

符号 M 代表系数矩阵。

先验、后验误差

∥∥x(k)−x∗∥∥⩽∥M∥k1−∥M∥∥∥x(1)−x(0)∥∥

∥∥x(k)−x∗∥∥⩽∥M∥1−∥M∥∥∥x(k)−x(k−1)∥∥

收敛条件

迭代矩阵 M 收敛⇔ρ(M)<1; 迭代矩阵 M 收敛⇐∥M∥<1.

常用的迭代解法

Jacobi迭代法 分量形式

x(k+1)i=1aii⎛⎝bi−∑j=1i−1aijx(k)j−∑j=i+1naijx(k)j⎞⎠ i=1,2,...,n;k=0,1,... 矩阵形式 B=D−1(L+U) 收敛条件 (1) 系数矩阵 A 以及2D−A都是对称正定矩阵 ⇒ Jacobi迭代法收敛； (2) 系数矩阵 A 严格对角占优⇒Jacobi迭代法收敛

Gauss-Seidel迭代法 分量形式

x(k+1)i=1aii⎛⎝bi−∑j=1i−1aijx(k+1)j−∑j=i+1naijx(k)j⎞⎠ i=1,2,...,n;k=0,1,... 矩阵形式 G=(D−L)−1U 收敛条件 (1) 系数矩阵 A 是对称正定矩阵⇒Gauss-Seidel迭代法收敛； (2) 系数矩阵 A 严格对角占优⇒Gauss-Seidel迭代法收敛

SOR迭代法 分量形式

x(k+1)i=x(k)i+ωaii⎛⎝bi−∑j=1i−1aijx(k+1)j−∑j=inaijx(k)j⎞⎠ i=1,2,...,n;k=0,1,... 矩阵形式1

Sω=(D−ωL)−1[(1−ω)D+ωU]

收敛条件 (1) SOR收敛 ⇒ 0<ω<2 ; (2)

{系数矩阵A是对称正定矩阵0<ω<2⇒SOR迭代法收敛 (3) {系数矩阵A严格对角占优0<ω⩽1⇒SOR迭代法收敛

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\pounds在编辑器中使用LaTex方式打不出来，因此将\pounds用S代替了。 ↩