卡特兰数又称卡塔兰数，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名。
其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790,
477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式 [1] ： h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2) 另类递推式 [2] ： h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1); 递推关系的解为： h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...) 递推关系的另类解为： h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...) 以下来自转载! http://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/7450250 感谢! 问题描述: 12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？ 这个笔试题，很YD，因为把某个递推关系隐藏得很深。 问题分析: 我们先把这12个人从低到高排列,然后,选择6个人排在第一排,那么剩下的6个肯定是在第二排. 用0表示对应的人在第一排,用1表示对应的人在第二排,那么含有6个0,6个1的序列,就对应一种方案. 比如000000111111就对应着 第一排：0 1 2 3 4 5 第二排：6 7 8 9 10 11 010101010101就对应着 第一排：0 2 4 6 8 10 第二排：1 3 5 7 9 11 问题转换为，这样的满足条件的01序列有多少个。 观察1的出现，我们考虑这一个出现能不能放在第二排，显然，在这个1之前出现的那些0,1对应的人 要么是在这个1左边，要么是在这个1前面。而肯定要有一个0的，在这个1前面，统计在这个1之前的0和1的个数。 也就是要求，0的个数大于1的个数。 OK，问题已经解决。 如果把0看成入栈操作，1看成出栈操作，就是说给定6个元素，合法的入栈出栈序列有多少个。 这就是catalan数,这里只是用于栈，等价地描述还有，二叉树的枚举、多边形分成三角形的个数、圆括弧插入公式中的方法数 ， 其通项是c(2n, n)/(n+1)。
三、Catalan数的典型应用：
1、括号化问题。矩阵链乘： P=A1×A2×A3×……×An，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？
一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words: XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY 将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数： ((())) ()(()) ()()() (())() (()())
2、将多边行划分为三角形问题。将一个凸多边形区域分成三角形区域(划分线不交叉)的方法数?类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
3、出栈次序问题。一个栈(无穷大)的进栈序列为1、2、3、...、n，有多少个不同的出栈序列? 类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
类似：一位大城市的律师在他住所以北n个街区和以东n个街区处工作，每天她走2n个街区去上班。如果他从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
分析：对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。 4、给顶节点组成二叉树的问题。 给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？ (一定是二叉树！先取一个点作为顶点，然后左边依次可以取0至N-1个相对应的，右边是N-1到0个，两两配对相乘，就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ...... + h(n-1)h(0)=h(n)) （能构成h（N）个） 我自己的理解是: 先选定一个结点作为根节点,那么它可以构成的二叉树个数为h（n）,然后如果左子树结点个数为0,右为1 此时有 h（0）*h（n-1），若左边一个右边两个 有h（1）*h(n-2).......h(n-1)*h(0)=h(n).. 在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n)，不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。 不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。 反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。 因而不合要求的2n位数与n＋1个0，n－1个1组成的排列一一对应。 显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)。 （这个公式的下标是从h(0)=1开始的） Marcus-Bao 认证博客专家 推荐系统 ACM算法竞赛 机器学习 本科毕业于国内知名四非大学，现中国科学院大学博士生，中国科学院计算技术研究所vipl实验室，老年ACM铁牌退役选手，喜欢算法竞赛，会点数据结构和算法，熟悉c++，python等；现阶段研究方向主要为机器学习与数据挖掘，比较关注推荐系统，发过顶会，炼过丹，平时博客主要记录些关于算法、数据结构，人工智能技术以及平时看的论文总结分享等，欢迎大家关注我，一起多多交流共同进步！
