斐波那契数列 通项公式 [数学]

[2007年到来了。经过2006年一年的修炼，数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列 (f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f=2”>i-2)的值全部给背了下来。 接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。

Input 输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾。

Output 输出f[n]的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。

Sample Input 0 1 2 3 4 5 35 36 37 38 39 40

Sample Output 0 1 1 2 3 5 9227 1493 2415 3908 6324 1023

题解

先求出其通项公式如下

Fn=15√⎡⎣(1+5√2)n−(1−5√2)n⎤⎦

证明过程

有了公式后还要注意一点就是它只要输出前4位，方法链接

lgFn=−lg5√+lg⎡⎣(1+5√2)n−(1−5√2)n⎤⎦=−lg5√+lg(1+5√2)n+lg⎡⎣1−(1−5√1+5√)n⎤⎦≈−lg5√+n⋅lg(1+5√2)

那么它前四位就是 [10{lgFn}+3] (注：{}为取小数部分，[]为取整数部分)

代码如下

#include<stdio.h> #include<math.h> #include<algorithm> using namespace std; const double sqrt_5=sqrt(5.0); const double a=sqrt_5/5; const double b=(1+sqrt_5)/2; const double c=(1-sqrt_5)/2; int fib1(int n){ int fn=a*(pow(b,n)-pow(c,n)); return fn; } int fib2(int n){ double fn=log10(a)+log10(b)*n; fn=fn-floor(fn); fn=pow(10.0,fn); fn=floor(1000*fn); return (int)fn; } int main() { int n; while(scanf("%d",&n)!=EOF){ if(n<21) printf("%d\n",fib1(n)); else printf("%d\n",fib2(n)); } return 0; }