维克多迈尔在《大数据时代》中，提出了大数据时代跟传统的信息时代相比，最本质的三个思维变革：1. 要全体数据，而不仅是样本；2. 要混杂，而不要效率偏低的精确；3. 要相关关系，而不是因果关系。这第三条说的就是数据挖掘中，最基础，最简单，也是最为重要的应用——数据相关关系的挖掘。相关关系，其实是数据中蕴含的最直接的知识，而对这种相关关系的挖掘，如今也早已应用到推荐系统，个性化检索，机器学习，以及很多更加高级的领域。所以说，相关关系的挖掘，第一，它极为重要，它几乎是数据挖掘和传统数据分析侧重点的分水岭，在如今这个数据时代，它是最重要也是最基本的数据技能；第二，它不难，一般的相关关系挖掘，不需要太过精深的理论；第三，它很普及，已经渗入了生活的方方面面。而这个问题入门级的算法，就是本文要说的Apriori算法，也叫“先验算法”。
当然，Apriori算法虽然本身不难，也容易理解，但是还是有必要学习一下它的产生思路。一来能有个更深入的认识，二来，也算是对数据相关关系基本特征有个理解。所以，我将用较大的一个篇幅，说明Apriori的相关背景。这一点，我觉得比学习算法本身，更有意义。
这首先得从生活中最普通的购物篮说起，我们去买东西，经常把一下商品放在一起购买，比如，我去买红酒，可能会连带着酒杯一起，我去买被子，可能会连带着枕头一起。因为，这些东西其实背后是存在着某种关联的。当然，我们不妨像维克多迈尔说的那样，先不用去管这样东西背后到底是为什么关联起来的，这是科学家和哲学家想的事情，作为商店的老板，你需要想的，只是知道什么东西之间存在关联就可以了。这样，就能通过对商店里商品的摆放，提高你的营业额。一个著名的例子是沃尔玛超市的“啤酒”和“尿布”。
购物篮的例子，可以用来说明两个问题：
在很多生活实例中，确实事物之间会存在某种关系，或强或弱，而如果我们能通过计算发现这种关联，那就太有用了！发现这种关联的一个前提条件，就是我得知道哪些东西是经常在一起出现的。上面两点，就是Apriori算法产生的原因。
下面为了说明方便，会给出一些概念，当然，这些概念我不想给出很精确的定义，因为你在任何一个搜索引擎都能查到。我只是给出最容易理解的解释。
项(item): 项指的是具体的一件东西，比如在购物篮的例子中，你的购物篮里面的大米，被子，红酒等等商品都是项；项集(itemset): 顾名思义，项的集合，由一个或多个项组成的一个整体，我们把由 k 个项组成的项集叫k项集；事务(transaction)：一个事务，可以看做是发生的一次事件，比如一个人一次的购物清单，用符号 T 表示，一般来说，T包含一个它本身的身份—— TID 以及事务中的一个项集。当然，如果我们收集很多这样的清单，构成一个数据库，这个数据库就能作为我们挖掘计算的依据了。这个库，用符号 D 表示。 关联规则：表示实体之间相关关系，用蕴含式A⇒B表示A和B之间相关关系（A和B可以是两个项，也可以是两个项集），关联规则包含支持度(support)和置信度(confidence)两个层面指标；支持度(support)和置信度(confidence)：这两个标准在数据相关关系中特别重要，我们判断两个实体之间是否存在相关关系，依据就是这两个标准。下面分开来说。假设现在的问题是判断A和B之间相关关系的强弱； 支持度(support)：说的是所有事务中，A和B同时出现的次数与总的事务数的比例。换个说法，现实数据中，支持A和B这种关联的比例。用以下公式计算： support(A⇒B)=P(A∪B) 其中， P(A∪B) 的意思是事务中同时包含A和B的比例；置信度(confidence)： A⇒B 的置信度说的是包含A的事务中，同时也包含B的事务所占的比例。用以下公式计算： confidence(A⇒B)=P(B|A) 比如说，总共100个事务，有50个包含A，而这50个事务当中，又有20个同时也包含B，那么， confidence(A⇒B)=40% 了解了支持度(support)和置信度(confidence)两个概念，那么不妨可以再深入一步，拓展一个概念：绝对支持度；支持度计数（绝对支持度）：绝对支持度又叫支持度计数，频度或计数。上面我们定义的支持度其实也可以叫“相对支持度”，而绝对支持度则说的是一个实体出现的次数，比如：support(A) = A在全体事务数据库 D 中出现的次数。这个概念很重要，因为依靠支持度计数我们就能通过support(A)和 support(A∪B) 来计算置信度： confidence(A⇒B)=P(B|A)=support(A∪B)support(A) 强规则：我们将实体之间的关联规则定义为强规则，如果实体之间的相对支持度(support)和置信度(confidence)满足我们预定义的最小支持度阈值(min_sup)和最小置信度阈值(min_conf)。换句话说，只要我们在上面的概念5中定义的两个指标都满足，那么，实体之间就是极有强（关联）规则的；频繁项集：指的是频繁在事务中出现的项集，所谓“频繁”的标准就是这个项集出现的次数满足最小支持度计数（阈值）。好了，到此，将5，6，7，8四个概念统一起来，我们可以得到一个结论：实体间关联规则的强弱可以通过它们的相对支持度和置信度决定，而这两个指标又可以通过绝对支持度： support(A) 和 support(A∪B) 来计算。所以说，关联规则挖掘也就可以转化为频繁项集的挖掘。
这样，关联规则的挖掘是一个两步的过程：
找出所有的频繁项集：根据相对支持度，置信度的定义可知，任意两个实体之间如果存在强关联规则，那么一定存在于频繁项集之中，反之，如果这两个实体不存在于频繁项集，则一定不会产生强关联规则由频繁项集产生强关联规则：计算支持度和置信度，找到实体间的强规则显然，当我们确定了要分析的实体之后，第二步的开销就很小了。关键是第一步：挖掘频繁项集。而Apriori算法解决的就是这个问题。
Apriori翻译成中文是“先验”，所以，不难想到，先验性质就是整个Apriori的核心。
定理1：先验性质：频繁项集的所有非空子集也一定是频繁的。
说明：这个概念很容易理解了，比如一个项集 {I1,I2,I3} 是频繁的，那么，说明这三个项同时出现的次数是大于最小支持度计数的，所以，我们可以推知，他的任何非空子集， {I1} , {I2,I3} 等等的支持度计数也一定比预先定义的阈值要大，故而都是频繁的。
反过来，我们可以换个角度来思考这个问题，如果一个项集 I 是频繁的，那么给这个项集在加一个项A，则这个新的项集 {I∪A} 则至少不会比 I 更加频繁，因为加了东西，所以项集中所有项同时出现的次数一定不会增加。
进一步思考可以得到这样一个结论：如果项集I是非频繁的，那么无论给它增加什么项，多少项，他都不会变成频繁项集。这种特殊的性质，也叫“反单调性”。我们将这种“反单调性”换个说法，写成下面的定理2：
定理2：反单调性：一个项集，如果有至少一个非空子集是非频繁的，那么这个项集一定是非频繁的。
正是利用了上面的定理1，定理2，Apriori被设计出来，它通过逐层搜索的模式，由频繁 k−1 项集生成频繁 k 项集，从而最终得到全部的频繁项集。
可见，Apriori最核心的部件就是怎样通过频繁k−1项集生成频繁 k 项集。为什么要通过这种方法找频繁k项集呢？通过定理1，2，我们知道：如果一个项集是频繁 k 项集，那么它的任意非空子集一定是频繁的，所以说，假如现在我们找到了全部的频繁k−1项集，那么频繁 k 项集则一定是由这些频繁k−1项集组合生成的。可以精简为下面的2个定理：
定理3：任何频繁 k 项集都是由频繁k−1项集组合生成的
定理4：频繁 k 项集的所有k−1项子集一定全部都是频繁 k−1 项集
定理3，4后面有用，暂且先搁这。下面看Apriori的具体步骤：
输入：事务数据库 D ；用户子集定义的最小支持度阈值计数阈值min_sup输出：所有频繁项集这里举一个韩家炜《数据挖掘》中的例子，方便讲解算法，如下表，TID为事务的ID，表右栏的列表为事务包含的项
TID商品（项）列表T01 I1,I2,I5 T02 I2,I4 T03 I2,I3 T04 I1,I2,I4 T05 I1,I3 T06 I2,I3 T07 I1,I3 T06 I1,I2,I3,I5 T07 I1,I2,I3算法流程如下：
第1步： 生成1项集的集合 C1 。将所有事务中出现的项组成一个集合，记为 C1 ， C1 可以看做是由所有的1项集组成的集合，比如上面这个例子， C1 可以写成下面的形式，每个元素其实都是由一个项构成的集合：
C1 = [[I1], [I2], [I3], [I4], [I5]]第2步： 寻找频繁1项集。统计 C1 中所有元素出现的次数，再与最小支持度计数阈值 min_sup 比较，筛掉出现小于 min_sup 的项集（当然此时的项集都是1项集），剩下的都是频繁1项集，这些频繁1项集组成的集合记为 L1 。此例中，我们设置 min_sup=2 ，那么经过这一步的筛选，没有项集被淘汰，统计情况以及 L1 可以写成如下的形式：
Item I1 I2 I3 I4 I5 count67622 L1 = [[I1], [I2], [I3], [I4], [I5]]1，2步说明：前两步进行完，我们已经得到频繁1项集的集合 L1 ，现在的目的是要通过 L1 生成 L2 ，根据上面讲的定理3，我们必须要用 L1 中的项集组合生成2项集 C2 ，再从 C2 中筛选出支持度计数不小于 min_sup 的，构成频繁2项集 L2 。这也是Apriori最关键的部分。因为由 L1 生成 L2 的步骤与任意 Lk−1 生成 Lk 地步骤是一样的，所以，我在后面就用 Lk−1 和 Lk 代表普遍性。这个工作通过“三步走”来实现：一步连接，一步剪枝，一步筛选。
第3步： 连接。连接的作用就是用两个频繁 k−1 项集，组成一个 k 项集。具体来说，分为两步，
先判断两个频繁k−1项集是否是可连接的，可连接的定义是这样：对于两个频繁 k−1 项集 l1,l2 ，先将项集中的项排序（比如字典序），如果 l1,l2 的前 k−2 项都相等，则 l1,l2 可连接 如果两个频繁 k−1 项集 l1,l2 可连接，则用它们生成一个新的 k 项集：{l1[1],l1[2],…,l1[k−2],l1[k−1],l2[k−1]}，其实就是用他们相同的前 k−2 项加上不同的各自末尾两项，这个过程由式子 l1×l2 表示。这样，我们只需找到所有的 C2n 个两两组合( n 为Lk−1的长度)，挑出其中可连接的，就能生成所有可能是频繁项集的 k 项集，它们就是频繁k项集的候选，这些候选构成的集合记为 Ck3步说明：经过这样连接起来的 k 项集，至少就有两个k−1子集是频繁的，所以，由定理4，我们知道，这样的 k 项集才有可能是频繁的，这也就在一开始，直接为我们排除了大量不可能的组合（因为我们不是通过找所有项的k组合生成的候选），比如上面的例子中，经过连接，由 L1 生成的 C2 如下所示：
C2 = [[I1, I2], [I1, I3], [I1, I4], [I1, I5], [I2, I3], [I2, I4], [I2, I5], [I3, I4], [I3, I5], [I4, I5]]注意：从 C2 开始，生成项集时，就按顺序生成，这样可以省去每次连接操作中，对项集的排序工作。后面的代码会有具体说明。
第4步： 剪枝。剪枝是第一步的筛选，因为3步结束之后，所有的频繁 k 项集的候选都在Ck里面了，所以现在的任务是对 Ck 筛选，剪枝是第一步。它是这样的一个步骤，对于每个候选 k 项集，找出所有它的k−1项子集，看看是否都在 Lk−1 中，只要有一个不在，那这个 k 项集一定不是频繁的。剪枝的原理就是定理4。经过剪枝，现在Ck进一步缩减。这个过程也叫子集测试。例子中，因为 C2 的所有子集都是1项集，都是频繁的，所以，这一步没有筛选掉任何项集。此时的 C2 还是上面的形式。
第5步： 扫描事务数据库。做进一步筛选。扫描事务数据库 D ，找到所有事务中的项集的所有子集，找出在现在的Ck里面的子集，计数，这样能统计出来目前 Ck 当中的所有项集的频数，删去小于 min_sup 的，得到频繁 k 项集组成的集合Lk。比如上面的例子，经过扫描数据库，统计结果如下：
Item [I1,I2] [I1,I3] [I1,I4] [I1,I5] [I2,I3] [I2,I4] [I2,I5] [I3,I4] [I3,I5] [I4,I5] count4412422010筛掉计数小于 min_sup (也就是2)的，剩下的就是频繁2项集 L2 了：
L2 = [[I1, I2],[I1, I3],[I1, I5],[I2, I3],[I2, I4],[I2, I5]]第6步： 重复进行3，4，5步，直到找出的 k 项集Ck=∅.比如本文的例子，找到 L2 后，继续找到 L3=[[I1,I2,I3],[I1,I2,I5]] ，由 L3 找 C4 时， C4=∅ 。至此，已经找到了所有的频繁项集，如下：
frequentItemSets = [[I1], [I2], [I3], [I4], [I5], [I1, I2],[I1, I3],[I1, I5],[I2, I3],[I2, I4],[I2, I5], [I1, I2, I3], [I1, I2, I5]]明白了Apriori的原理，就可以写出代码了，限于篇幅，我在本文中，只是给出几个关键函数的代码，当然，由于给出的代码只是整个算法的一部分，所以我会对相关没有定义的函数名进行简单说明，方便理解给出部分的代码。全部的实现代码，请参考我的GitHub主页：Apriori
我用的是Python实现Apriori，先给出用到的相关参量的说明：
D:事务数据库，用字典的形式表示。键为TID，值为事务中出现的项的集合，这个集合以列表的形式存储。形式如{TID: [I1, I2]} min_sup:最小支持度计数阈值，int型，代码中，设定为2再给出一些简单的函数的功能说明，这些函数过于简单，所以，只是说明其实现的功能。不给出具体代码。
find_frequent_1_itemsets(D, min_sup):遍历D，根据min_sup找出所有的频繁1项集，结果记为L1，L1是列表型，且其每个元素都是一个长度为1的列表。用于上面第1，2步，找出频繁1项集。 isLinkable(l1, l2):l1, l2为列表型，这个函数的作用是判断两个排好序的项集l1, l2是否是可连接的，用于上面第3步，连接的前提判断。 gen_ksub1_subsets(s):生成集合s的所有长度为k - 1的子集，s为列表型，生成的结果为列表型，且结果的每个元素为列表型。这个函数用于上面第4步——剪枝，判断是否一个k项集的所有k - 1项子集都是频繁的 subsets(S):求出集合S的所有子集，S为列表型，求出的结果result是一个列表，result的每个元素也是列表型，代表S的一个子集。这个函数用于上面第5步的筛选，求出每个事务的子集时用。下面给出一些关键函数的实现代码。首先是连接和剪枝两步（上面第3，4步），我沿用韩家炜先生的用法，将实现这两步的函数叫做apriori_gen(L_k_subtract_1)，参数L_k_subtract_1表示频繁 k−1 项集的集合，函数的具体代码如下：
def apriori_gen(L_k_subtract_1): """ There are 2 steps in apriori_gen: 1. link: execute l1 x l2, generate original Ck; 2. prune: delete the candidate in Ck who has infrequent subset :param L_k_subtract_1: a list, each element is k-1 frequent itemset :return: a semi-finished k itemset candidates Lk """ index1 = 0 k = len(L_k_subtract_1[0]) + 1 Ck = [] # while: link process while index1 < len(L_k_subtract_1): # the itemset l1 that to be linked: l1 x l2 l1 = L_k_subtract_1[index1] # traverse L(k - 1), find the other itemset l2 for l2 in L_k_subtract_1[index1 + 1:]: if isLinkable(l1, l2): newItemSet = [item for item in l1[:k - 2]] # add tail element with order if l1[k - 2] < l2[k - 2]: newItemSet.append(l1[k - 2]) newItemSet.append(l2[k - 2]) else: newItemSet.append(l2[k - 2]) newItemSet.append(l1[k - 2]) Ck.append(newItemSet) index1 += 1 # subSetTest: prune process return subSetTest(Ck, L_k_subtract_1) def subSetTest(Ck, L_k_subtract_1): """ prune process: according to apriori, test if every itemset in Ck is possible frequent :param Ck: a list, and each element is also a list :param L_k_subtract_1: a list, and each element is also a list :return: a semi-finished Lk """ # the cur itemset that to be tested. cur = 0 n = len(Ck) semi_finished_Lk = [] while cur < n: # testItemSet: a list testItemSet = Ck[cur] if not has_infrequent_subset(testItemSet, L_k_subtract_1): semi_finished_Lk.append(testItemSet) cur += 1 return semi_finished_Lk def has_infrequent_subset(testItemSet, L_k_subtract_1): """ :param testItemSet: the candidate k itemset, is a list :param L_k_subtract_1: a list :return: testItemSet has a infrequent subset or not """ for testSubSet in gen_ksub1_subsets(testItemSet): if testSubSet not in L_k_subtract_1: return True return False可以看出，apriori_gen在此还调用了函数subSetTest，这个函数的功能在于做子集测试，也就是剪枝的过程，对候选集Ck，依照L_k_subtract_1进行剪枝筛选。而subSetTest调用了函数has_infrequent_subset检查每个子集的频繁与否。其它用到的函数，诸如isLinkable(), gen_ksub1_subsets()省略。
最后，还有一步就是对整个数据库扫描，二次筛选候选项集，找出频繁项集 Lk ，代码如下：
def scanDataBase(D, min_sup, semi_finished_Lk): """ scan the transaction database, filter the infrequent itemset :param D: a dictionary, represents the whole transaction database :param min_sup: :param semi_finished_Lk: a list, represents semi_finished itemset Lk :return: the final frequent itemset Lk """ Lk = [] k = len(semi_finished_Lk) counts = [0 for i in range(len(semi_finished_Lk))] for TID in D: subSets = subsets(D[TID]) for subSet in subSets: if subSet in semi_finished_Lk: counts[semi_finished_Lk.index(subSet)] += 1 index = 0 while index < k: if counts[index] >= min_sup: Lk.append(semi_finished_Lk[index]) index += 1 return Lk其用到的函数subsets()省略，求子集的函数也是lintcode中非常经典的题目了，容易查到。
根据这些，最终可以给出主函数了：
def miningFrequentItemSet(D, min_sup): # initialized frequentItemSets = [] L1 = find_frequent_1_itemsets(D, min_sup) frequentItemSets.extend(L1) # find frequent itemset Lk, until it is empty Lk = L1 while len(Lk) != 0: # here, Ck is also a semi-finished Lk which processed by link and prune Ck = apriori_gen(Lk) # obtain final frequent itemset Lk Lk = scanDataBase(D, min_sup, Ck) frequentItemSets.extend(Lk) return frequentItemSets找出所有的频繁项集，就可以通过最前面我们说的支持度和置信度的公式，计算得到具有强关联规则的实体（实体可能是项，也可能是项集）。
详细代码参见：Apriori
