分箱问题

问题

假设12个销售价格记录组已经排序如下：5, 10, 11, 13, 15,35, 50, 55, 72, 92, 204, 215 使用如下每种方法将它们划分成四个箱。等频（等深）划分时，15在第几个箱子内？等宽划分时在第几个箱？

分箱问题分为有监督分箱和无监督分箱。

无监督分箱

等宽分箱      将变量的取值范围分为k个等宽的区间，每个区间当作一个分箱。      在本问题中变量的取值范围为5–215，k为4.（215-5）/4=52.5划分点为57.5，110，162.5，4个箱中数据为      A箱：5, 10, 11, 13, 15,35, 50, 55      B箱：72, 92      C箱：空      D箱：204, 215 等频（等深）分箱      把观测值按照从小到大的顺序排列，根据观测的个数等分为k部分，每部分当作一个分箱，例如，数值最小的1/k比例的观测形成第一个分箱，等等。      在本问题中观测个数为12.k=4.每箱里有3个数据。      A箱：5, 10, 11, B箱：13, 15,35 C箱： 50, 55，72 D箱：92 ，204, 215 k聚类分箱      用k均值聚类法将观测值聚为k类，但在聚类过程中需要保证分箱的有序性：第一个分箱中所有观测值都要小于第二个分箱中的观测值，第二个分箱中所有观测值都要小于第三个分箱中的观测值。手算太费时间，笔试中应该不会出现。

有监督分箱

在分箱时考虑因变量的取值，使得分箱后达到最小（minimumentropy）或最小描述长度（minimumdescriptionlength）。

（1）假设因变量为分类变量，可取值1，…，J。令pl（j）表示第l个分箱内因变量取值为j的观测的比例，l=1，…，k，j=1，…，J；那么第l个分箱的熵值为Jj=1［-pl（j）×log（pl（j））］。如果第l个分箱内因变量各类别的比例相等，即pl（1）=…=pl（J）=1/J，那么第l个分箱的熵值达到最大值；如果第l个分箱内因变量只有一种取值，即某个pl（j）等于1而其他类别的比例等于0，那么第l个分箱的熵值达到最小值。

（2）令rl表示第l个分箱的观测数占所有观测数的比例；那么总熵值为kl= 1rl×Jj=1［-pl（j）×log（pl（j ））］。需要使总熵值达到最小，也就是使分箱能够最大限度地区分因变量的各类别。