ACM-熄灯问题

问题描述

        有一个由按钮组成的矩阵，其中每行有 6 个按钮，共 5 行。每个按钮的位置上有一盏灯。当按下一个按钮后，该按钮以及周围位置(上边、下边、左边、右边)的灯都会改变一次。即，如果灯原来是点亮的，就会被熄灭；如果灯原来是熄灭的，则会被点亮。在矩阵角上的按钮改变 3 盏灯的状态；在矩阵边上的按钮改变 4 盏灯的状态；其他的按钮改变 5 盏灯的状态。在下图 8-1 中，左边矩阵中用 X 标记的按钮表示被按下，右边的矩阵表示灯状态的改变。与一盏灯毗邻的多个按钮被按下时，一次操作会抵消另一次操作的结果。在图 8-2 中，第 2行第 3、 5 列的按钮都被按下，因此第 2 行、第 4 列的灯的状态就不改变。根据上面的规则，我们知道：

1) 第 2 次按下同一个按钮时，将抵消第 1 次按下时所产生的结果。因此，每个按钮最多只需要按下一次。 2) 各个按钮被按下的顺序对最终的结果没有影响。 3) 对第 1 行中每盏点亮的灯，按下第 2 行对应的按钮，就可以熄灭第 1 行的全部灯。如此重复下去，可以熄灭第 1、 2、 3、 4 行的全部灯。同样，按下第 1、 2、 3、 4、 5 列的按钮，可以熄灭前 5 列的灯。

一次按钮的按下操作改变灯的状态

两次按钮的按下操作的结果被抵消

        对矩阵中的每盏灯设置一个初始状态。请你写一个程序，确定需要按下哪些按钮，恰好使得所有的灯都熄灭。

输入数据

        第一行是一个正整数 N，表示需要解决的案例数。每个案例由 5 行组成，每一行包括 6个数字。这些数字以空格隔开，可以是 0 或 1。 0 表示灯的初始状态是熄灭的， 1 表示灯的初始状态是点亮的。

输出要求

        对每个案例，首先输出一行，输出字符串“PUZZLE #m”，其中 m 是该案例的序号。接着按照该案例的输入格式输出 5 行，其中的 1 表示需要把对应的按钮按下， 0 则表示不需要按对应的按钮。每个数字以一个空格隔开。

输入样例

2 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0

输出样例

PUZZLE #1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 PUZZLE #2 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1

解题思路

        为了叙述方便，按下图所示，为按钮矩阵中的每个位置分别指定一个坐标。用数组元素puzzle[i][j]表示位置(i, j)上灯的初始状态： 1 表示灯是被点亮的； 0 表示灯是熄灭的。用数组元素 press[i][j]表示为了让全部的灯都熄灭，是否要按下位置(i, j)上的按钮： 1 表示要按下；0 表示不用按下。由于第 0 行、第 0 列和第 7 列不属于按钮矩阵的范围，没有按钮，可以假设这些位置上的灯总是熄灭的、按钮也不用按下。其它 30 个位置上的按钮是否需要按下是未知的。因此数组 press 共有 2³⁰ 种取值。从这么大的一个空间中直接搜索我们要找的答案，显然代价太大、不合适。要从熄灯的规则中，发现答案中的元素值之间的规律。不满足这个规律的数组 press，就没有必要进行判断了。         根据熄灯规则，如果矩阵 press 是寻找的答案，那么按照 press 的第一行对矩阵中的按钮操作之后，此时在矩阵的第一行上：

如果位置(1, j)上的灯是点亮的，则要按下位置(2, j)上按钮，即 press[2][j]一定取 1；如果位置(1, j)上的灯是熄灭的，则不能按位置(2, j)上按钮，即 press[2][j]一定取 0。这样依据 press 的第一、二行操作矩阵中的按钮，才能保证第一行的灯全部熄灭。而对矩阵中第三、四、五行的按钮无论进行什么样的操作，都不影响第一行各灯的状态。依此类推，可以确定 press 第三、四、五行的值。

        因此，一旦确定了 press 第一行的值之后，为熄灭矩阵中第一至四行的灯，其他行的值也就随之确定了。 press 的第一行共有 2⁶ 种取值，分别对应唯一的一种 press 取值，使得矩阵中前四行的灯都能熄灭。只要对这 2⁶ 种情况进行判断就可以了：如果按照其中的某个 press对矩阵中的按钮进行操作后，第五行的所有灯也恰好熄灭，则找到了答案。

参考程序

#include <iostream> using namespace std; int puzzle[6][8],press[6][8]; bool guess(){ /*根据 press 第一行和 puzzle数组，按照熄灯规则计算出 press 其他行的值， 使得矩阵第 1~4 行的所有灯都熄灭*/ for(int r=1;r<5;r++){ for(int c=1;c<7;c++){ press[r+1][c]= (puzzle[r][c] + press[r][c] + press[r][c-1] + press[r][c+1] + press[r-1][c])%2; } } /*判断所计算的 press 数组能否熄灭矩阵第 5 行的所有灯。 如果能够就返回“ true”，表示找到了答案；否则返回“ false”，表示没有找到答案。*/ for(int c=1;c<7;c++){ if((press[5][c] + press[5][c-1] + press[5][c+1] + press[4][c])%2 != puzzle[5][c]){ return false; } } return true; } void enumate(){ int c; //初始化 for(c=1;c<7;c++){ press[1][c]=0; } /*对 press 第一行的元素 press[1][1]~ press[1][6]的各种取值情况进行枚举。 在每种取值情况下，分别调用 guess()，看看是否找到了答案。*/ while(guess() == false){ press[1][1]++; c = 1; while(press[1][c] > 1){ press[1][c]=0; c++; press[1][c]++; } } return; } int main() { int cases; cin >> cases; //采用一个 6×8 的矩阵表示，在计算 press[r+1][c]时，能够用一个共同的公式 for(int r=0;r<6;r++){ press[r][0]=press[r][7]=0; } for(int c=1;c<7;c++){ press[0][7]=0; } for(int i=1;i<=cases;i++){ for(int r=1;r<6;r++){ for(int c=1;c<7;c++){ cin >> puzzle[r][c]; } } enumate(); //输出结果 cout<<"PUZZLE #"<<i<<endl; for(int r=1;r<6;r++){ for(int c=1;c<7;c++){ if(c != 1) cout<<" "; cout << press[r][c]; } cout<<endl; } } return 0; }