特殊情况下， 你还是可以用通常的解决方法， 但不可否认， 也一定有专属它的性感的方法
1. 基本规则 分配律： ∑k∈K(cak)=c(∑k∈Kak)
结合律： ∑k∈K(ak+bk)=∑k∈K(ak)+∑k∈K(bk)
交换律： ∑k∈K(ak)+∑t∈K(bt)
2. 例题
∑1≤t<k≤n(ak−at)(bk−bt)观察，如下我们构造的矩阵：
A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢a1,a1a2,a1⋮an,a1a1,a2a2,a2⋮an,a2⋯⋯⋱⋯a1,ana2,an⋮an,an⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥
B=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢b1,b1b2,b1⋮bn,b1b1,b2b2,b2⋮bn,b2⋯⋯⋱⋯b1,bnb2,bn⋮bn,bn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥
发现1： ∑1≤t<k≤n(ak−at)(bk−bt) 就是矩阵A和B的内部元素差之积。
发现2：构造的矩阵A和B均为对角矩阵，其中 ∑1≤t<k≤n(ak−at)(bk−bt) 可以理解为下三角，相应地，上三角为 ∑1≤k<t≤n(ak−at)(bk−bt) 。
3. 解题 令
S∇=∑1≤t<k≤n(ak−at)(bk−bt)SΔ=∑1≤k<t≤n(ak−at)(bk−bt) ,
因为对称矩阵的对称性，所以有,
S∇=SΔ Swhole=S∇+SΔ+Sdiagonal
进一步推出，
2S∇=S∇+SΔ
2S∇=Swhole−Sdiagonal
2S∇=∑1≤k≤n1≤t≤n(ak−at)(bk−bt)−∑k=t1≤k≤n1≤t≤n(ak−at)(bk−bt)
2S∇=∑1≤k≤n1≤t≤n(ak−at)(bk−bt)
2S∇=∑1≤k≤n1≤t≤n(akbk)−∑1≤k≤n1≤t≤n(akbt)−∑1≤k≤n1≤t≤n(atbk)+∑1≤k≤n1≤t≤n(atbt)
根据分配律，有,
2S∇=(∑1≤t≤n1)(∑1≤k≤n(akbk))−∑1≤k≤n1≤t≤n(akbt)−∑1≤k≤n1≤t≤n(atbk)+(∑1≤k≤n1)(∑1≤t≤n(atbt))2S∇=n∑1≤k≤n(akbk)−∑1≤k≤n1≤t≤n(akbt)−∑1≤k≤n1≤t≤n(atbk)+n∑1≤t≤n(atbt)
根据交换律，有,
2S∇=n∑1≤k≤n(akbk)−∑1≤k≤n1≤t≤n(akbt)−∑1≤k≤n1≤t≤n(akbt)+n∑1≤k≤n(akbk)2S∇=2n∑1≤k≤n(akbk)−2∑1≤k≤n1≤t≤n(akbt)
两边同时除以2，有,
S∇=n∑1≤k≤n(akbk)−∑1≤k≤n1≤t≤n(akbt)根据分配律，有,
S∇=n∑1≤k≤n(akbk)−∑1≤k≤n(ak)∑1≤t≤n(bt)4. 分析 重新排序
∑1≤k≤n(ak)∑1≤t≤n(bt)=n∑1≤k≤n(akbk)−S∇∑1≤k≤n(ak)∑1≤t≤n(bt)=n∑1≤k≤n(akbk)−∑1≤t<k≤n(ak−at)(bk−bt)
切比雪夫定理： 若 f(x) 和 g(x) 均为[a,b]上的单调非减函数，有,
∫abf(x)∫abg(x)≤(b−a)∫abf(x)g(x)发现1：切比雪夫定理分析的是连续数域，而本文恒等式分析的是离散数域。
发现2：本文恒等式是切比雪夫定理的一个特例，换句话说，本文恒等式是切比雪夫定理在离散数域的一种表达方式。
5. 应用 给定两单调且大小为n的数组A, B，问 sum(A)sum(B)=?
方法一：
sum(A)sum(B)=(∑1≤k≤nA[k])(∑1≤k≤nB[k])根据分配律，有,
sum(A)sum(B)=(∑1≤k≤n1≤t≤n(A[k]B[t]))方法二：
sum(A)sum(B)=(∑1≤k≤nA[k])(∑1≤k≤nB[k])根据本文恒等式，有，
sum(A)sum(B)=n(∑1≤k≤n(A[k]B[k]))−∑1≤t<k≤n(A[k]−A[t])(B[k]−B[t])发现1：两种不同的计算方式，虽然计算上是一样的输出结果，但却存在着各自不同的计算机访问内存的模式：方法一是一种全局扫描的访问内存的模式，方法二则由两种模式构成：其一是一对一的对齐的访存模型，其二是卷积运算。
