一,分析平衡二叉查找树有什么意义？
平衡二叉查找树是对二叉查找树的改进，那二叉查找树哪些地方是不尽人意的呢？
在分析二叉查找树的平均查找长度时，会发现，二叉查找树的平均查找长度与二叉查找树
的形态有关系，最坏的情况是退化为链表，查找变为线性查找，平均查找长度为(n 1)/2.最
好的情况就是树的形态与折半查找的判断树形式。平均查找长度为logN。
平衡二叉树就是为了保证树的形态向“树”的方向走。避免了二叉查找树退化为链表的可能。
从而提高了查找效率。其实平衡二叉查找树与二叉查找树的区别并不是很大，平衡树在“改变”
树的时候会维护树的形态，“改变”无非就两种，插入节点和删除节点，而树的查找只“读”
了树，并没改变，所以树的查找，平衡树和查找树是一样的。
例如：
现在我要使用24,12,53,28,45,90创建查找树，如果创建的二叉查找树（如左图），
则平均查找长度：(1 2 2 3 4 3)/6 = 15/6 如果创建的是平衡二叉查找树(如右图)，
则平均查找长度：(2 3 2 3 1 3)/6 = 14/6. 平衡二叉树的查找效率要高，
这个例子是借用上次使用的，可能代表性不是强。
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二，平衡二叉查找树相关的重要概念。
1，什么是平衡二叉查找树？
平衡二叉查找树又称为平衡二叉排序树，又称为AVL树，是二叉查找树的改进。 定义（满足如下三个条件）： (1),是二叉查找树。 (2),左子树与右子树的深度之差的绝对值小于或等于1. (3),左右子树也是平衡二叉查找树。
2，什么是平衡因子？
平衡二叉查找树的每个结点都要描述一个属性，就是平衡因子， 它表示结点的左子树深度与右子树深度之差。
该概念的引入也是为了更好地描述什么是平衡二叉查找树。有了这概念后。
我们可以重新对二叉查找树下个定义。
如果某个二叉查找树的所有节点的平衡因子只有-1,0,1则说明其实平衡的，
否则说明是不平衡的。 ------------------------------------------------------------------- 三，平衡二叉查找树是如何创建和插入的？如何保证插入一个新节点后树仍然是
一棵平衡二叉查找树？
先介绍几个特殊的节点。
插入一个新的节点，只有该节点的祖先节点的平衡因子会变化，其他节点的
平衡因子都不会变化。
如上图，插入15这个节点后，平衡因子变化的只有20,25,40。都是15的“祖先节点”。
A节点：为插入点最底层“祖先节点”最可能的失衡点。比如插入的节点是15，故插入的位置是节点20的左孩子，这从20这个节点开始遍历祖先节点，取最近的的最可能失衡点， 这儿就是40这个节点。如果没有找到，说明插入这个节点不可能破坏平衡 B节点就是该祖先节点一条线中A节点的下一个。 这两个特殊的点很重要，因为后面的失衡类型就是根据这两个点的平衡因子来判断的。
插入节点很简单，主要就是插入节点后有可能破坏平衡，那就必须将非平衡的树调整为平衡树。
现在将非平衡的情况分为四种，每种情况都有自己的调整方法。
1，LL型。（左边重，需往右边转）
LL型的判断依据就是:A节点平衡因子为2，B节点的平衡因子为1.
即: A->bf = 2, B->bf = 1.
如果失衡类型是LL型，这调整算法如下：
以B点为轴，将A节点做顺时针旋转，然后将B的右子树作为A的左子树。
算法的代码实现如下：（可结合上面的图看）
case LL: B = A->lchild;//该类型B节点所在的位置 A->lchild = B->rchild;//将B节点的右子树交给A，作为A的左子树。 B->rchild = A;//把A作为B的右子树。 A->bf = B->bf = 0;//更新A，B节点的平衡因子的值。 if (father_A == NULL) *root = B;//如果A是根，则现在把B节点设置为根节点。 else if (A == father_A->lchild) father_A->lchild = B;//如果原来A是father_A的//左孩子，则现在把B，作为father_A的左孩子。否则，作为father_A的右孩子，就是用B的取代A原来的位置。 else father_A->rchild = B; break; 该算法的过程实现起来并不难，主要还是有人家的理论在这儿放着。详细的过程看代码注释。
2，RR型。与LL型是对称的。（右边重，需往左边转）
RR型的判断依据就是:A节点平衡因子为-2，B节点的平衡因子为-1.
即: A->bf = -2, B->bf = -1.
如果失衡类型是RR型，这调整算法如下：
该类型的调整和LL型调整差不多。以B节点为轴，将A节点作逆时针旋转，然后，把B的
左子树给A，作为A的右子树。
算法的代码实现如下：
case RR: B = A->rchild;//该类型B节点所在的位置 A->rchild = B->lchild;//把B的左子树给A，充当A的右子树。 B->lchild = A;//将A充当B的左子树，完成了逆时针旋转。 A->bf = B->bf = 0;//重新设置平衡因子。 if (father_A == NULL) *root = B;//看原来A在整个树中的位置，现在将B取代A的位置 else if (A == father_A->lchild) father_A->lchild = B; else father_A->rchild = B; break; 该类型和LL型是对称的，只要理解了其中一个，另外一个很好理解。
3，LR型。（左边，右边都重，都需要转）
该类型又引入了一个特殊节点C。该节点很好判断，和判断B节点一样，插入节点的
“祖先节点”那一线上，A的下一个是B，B的下一个就是C节点。
LR型的判断依据就是:A节点平衡因子为2，B节点的平衡因子为-1.
即: A->bf = 2, B->bf = -1.
如果失衡类型是LR型，这调整算法如下：
算法的实现代码分析：
case LR: B = A->lchild;//该类型B节点的位置 C = B->rchild;//该类型C节点的位置 B->rchild = C->lchild;//C节点的左子树交给B，作为B的右子树。 A->lchild = C->rchild;//C节点的右子树交给A，作为A的左子树。 C->lchild = B;//B作为C的左子树 C->rchild = A;//A作为A的右子树 if (s->key < C->key) {//根据插入节点与C节点的位置来更新平衡因子的值 A->bf = -1;B->bf = 0;C->bf = 0; } else if (s->key > C->key) { A->bf =0;B->bf = 1;C->bf = 0; } else { A->bf = 0;B->bf = 0; } if (father_A == NULL) *root = C;//用C节点来取代A节点的位置。 else if (A == father_A->lchild) father_A->lchild = C; else father_A->rchild = C; break; 该类型的调整算法见代码注释。 4，RL型。（左边，右边都重，都需要转） 这种类型和LR型是对称的，分析起来思路是一样的。故不再详细分析。 -------------------------------------------------------------------------------------- 四，平衡树节点的删除，平衡树节点的删除和插入差不多，都有可能导致 平衡树的失衡，在删除节点后同样要找到A点和B点，然后判断是否有失衡，
如果失衡了，然后根据失衡的类型作出调整。调整的算法见上面的分析。
五，实例代码（完整代码）
#include <stdio.h> #include <unistd.h> #include <malloc.h> #include <stdlib.h> struct node { int key; //数据域，key值 int bf; // 平衡因子。 struct node *lchild,*rchild; //树的左右孩子 }; typedef struct node avltree; #define ARRAY_SIZE(x) (sizeof(x) / sizeof((x)[0])) #define handler_error(msg) \ {perror(msg);exit(EXIT_FAILURE);} #define LL 1 #define RR 2 #define LR 3 #define RL 4 int insert_avltree(avltree **root,int key) { struct node *A,*B,*C,*p,*fp,*father_A; int choice = 0; //----------------------------------------------------------------- // 创建要插入的节点。 struct node *s = (struct node *)malloc(sizeof(struct node)); if (s == NULL) { printf("file %s,line %d:malloc error\n",__FILE__,__LINE__); return 1; } s->key = key; s->lchild = s->rchild = NULL; s->bf = 0; //---------------------------------------------------------------- if (*root == NULL) {//如果树的空树则该节点作为根节点。 *root = s; goto out1; } A = *root; p = *root; fp = NULL; father_A = NULL; while (p != NULL) { //从根节点开始，走到要插入的节点的位置，也就是要遍历“祖先节点”那条线。 if (p->bf != 0 ) { A = p;//用A来记录插入节点祖先节点中从下到上第一个可能出现失去平衡点的节点。 father_A = fp;//father_A用来记录A节点的父节点。 } fp = p; if (key < p->key) p = p->lchild; else p = p->rchild; } //------------------------------------------------------------- // 插入s节点到指定的位置。 if (key < fp->key) fp->lchild = s; else fp->rchild = s; //-------------------------------------------------------------- //确定B节点，并修改A的平衡因子。 if (key < A->key) { B = A->lchild; A->bf = A->bf + 1; } else { B = A->rchild; A->bf = A->bf - 1; } //-------------------------------------------------------------- // 修改B至S路径上个节点的平衡因子，原来的肯定都是0，思考下，为什么？ 结合A是怎么选择出来的。 p = B; while (p != s) { if(key < p->key) { p->bf = 1; p = p->lchild; }else { p->bf = -1; p = p->rchild; } } //-------------------------------------------------------------- if (A->bf == 2 && B->bf == 1) // 3 choice = LL; else if (A->bf == -2 && B->bf == -1) //-3 choice = RR; else if (A->bf == 2 && B->bf == -1) //1 choice = LR; else if (A->bf == -2 && B->bf == 1) // -1 choice = RL; else { choice = 0; } //---------------------------------------------------------------- printf("choice = %d\n",choice); switch (choice) { case LL: B = A->lchild; A->lchild = B->rchild; B->rchild = A; A->bf = B->bf = 0; if (father_A == NULL) *root = B; else if (A == father_A->lchild) father_A->lchild = B; else father_A->rchild = B; break; case LR: B = A->lchild; C = B->rchild; B->rchild = C->lchild; A->lchild = C->rchild; C->lchild = B; C->rchild = A; if (s->key < C->key) { A->bf = -1;B->bf = 0;C->bf = 0; } else if (s->key > C->key) { A->bf =0;B->bf = 1;C->bf = 0; } else { A->bf = 0;B->bf = 0; } if (father_A == NULL) *root = C; else if (A == father_A->lchild) father_A->lchild = C; else father_A->rchild = C; break; case RL: B = A->rchild; C = B->lchild; B->lchild = C->rchild; A->rchild = C->lchild; C->lchild = A; C->rchild = B; if (s->key < C->key) { A->bf = 0;B->bf = -1;C->bf = 0; } else if (s->key > C->key) { A->bf = 1;B->bf = 0;C->bf = 0; } else { A->bf = 0;B->bf = 0; } if (father_A == NULL) *root = C; else if (A == father_A->lchild) father_A->lchild = C; else father_A->rchild = C; break; case RR: B = A->rchild; A->rchild = B->lchild; B->lchild = A; A->bf = B->bf = 0; if (father_A == NULL) *root = B; else if (A == father_A->lchild) father_A->lchild = B; else father_A->rchild = B; break; default: printf("the avl tree is OK when insert a node!\n"); break; } out1: return 0; } int create_avl(avltree **avl) { int a[] = {24,12,53,28,45,90}; int length = ARRAY_SIZE(a); int i = 0; *avl = NULL; for (i=0;i<length;i++) { insert_avltree(avl,a[i]); printf("insert node %d\n",a[i]); } return 0; } struct node* search_avl(avltree *root,int key) { while (root) { if (root->key == key) return root; else if (key < root->key) root = root->lchild; else root = root->rchild; } return NULL; } int main(int argc,char *argv[]) { avltree *root = NULL; avltree *node = NULL; int a[] = {10,20,29,24,12,53,45,90,100,290,28}; int length = ARRAY_SIZE(a); int i = 0; if (create_avl(&root)) { printf("create bstree error!\n"); exit(1); } for (i=0;i<length;i++) { node = search_avl(root,a[i]); if (node == NULL) { printf("%d you search is not exist in the tree!\n",a[i]); }else { printf("search successfully!,and the key is %d\n",node->key); } } return 0; }
