假设已知函数 y=f(x) 在 N+1 个点 x1,x2,⋯,xN+1 处的函数值 y1,y2,⋯,yN+1 ，但函数的表达式 f(x) 未知，那么可以通过插值函数 p(x) 来逼近未知函数 f(x) ，并且 p(x) 必须满足
p(xk)=yk,k=1,2,⋯,N+1.(1)常见的插值函数的形式有多项式函数、样条函数。
多项式函数：令 p(x) 为 N 次多项式函数，于是p(x)有 N+1 个参数，而由公式(1)可知这 N+1 个参数满足 N+1 个约束条件，所以可以求出 p(x) 的表达式。
样条函数：我们知道 N 阶多项式函数必然有N−1个极值点，所以得到的插值函数摆动会比较大，这有点像机器学习中的过拟合现象，可以用样条函数来避免这个问题。这里的样条函数其实就是分段函数，表示在相邻点 xk 和 xk+1 之间用低阶多项式函数 Sk(x) 进行插值。分段线性插值和三次样条插值都属于样条插值。
本文介绍的TPS针对的是插值问题的一种特殊情况，并且TSP插值函数的形式也比较新颖。 考虑这样一个插值问题：自变量 x 是2维空间中的一点，函数值 y 也是2维空间中的一点，并且都在笛卡尔坐标系下表示。给定 N 个自变量xk和对应的函数值 yk ，求插值函数
Φ(x)=[Φ1(x)Φ2(x)]，使得
yk=Φ(xk).(2)我们可以认为是求两个插值函数 Φ1(x) 和 Φ2(x) 。
TPS插值函数形式如下：
Φ1(x)=c+aTx+wTs(x)(3)其中 c 是标量，向量a∈R2×1，向量 w∈RN×1 ，函数向量
s(x)=(σ(x−x1),σ(x−x1),⋯,σ(x−xN))Tσ(x)=||x||22log||x||2.
Φ2(x) 和 Φ1(x) 有一样的形式。看到这里可能会产生疑问？插值函数的形式千千万，怎么就选择公式(3)这种形式呢？我们可以把一个插值函数想象成弯曲一个薄钢板，使得它穿过给定点，这样会需要一个弯曲能量：
J(Φ)=∑j=12∬R2(∂2Φj∂x2)2+2(∂2Φj∂x∂y)2+(∂2Φj∂y2)2dxdy那么可以证明公式(3)是使得弯曲能量最小的插值函数。参考文献[3]中给了证明过程。
TSP插值函数 Φ1 有 N+3 个参数，而条件(2)只给出了 N 个约束，我们再添加三个约束： ∑k=1Nwk=∑k=1Nxxkwk=∑k=1Nxykwk=000(4)
xxk 和 xyk 分别表示点 x 的 x 坐标值和y坐标值。于是(2)和(4)可以写成
⎡⎣⎢S1TNXT1N00X00⎤⎦⎥⎡⎣⎢wca⎤⎦⎥=⎡⎣⎢Yx00⎤⎦⎥(5) 其中， (S)ij=σ(xi−xj) ， 1N 表示值全为1的 N 维列向量， X=⎡⎣⎢⎢⎢⎢xx1xx2⋯xxNxy1xy2⋯xyN⎤⎦⎥⎥⎥⎥Yx=⎡⎣⎢⎢⎢⎢yx1yx2⋯yxN⎤⎦⎥⎥⎥⎥
我们可以令
Γ=⎡⎣⎢S1TNXT1N00X00⎤⎦⎥那么可知当 S 是非奇异矩阵时，Γ也是非奇异矩阵，于是参数为：
⎡⎣⎢wca⎤⎦⎥=Γ−1⎡⎣⎢Yx00⎤⎦⎥(6)可以把 Φ1 和 Φ2 的参数通过一个矩阵运算计算出来：
⎡⎣⎢wxcxaxwycyay⎤⎦⎥=Γ−1⎡⎣⎢Yx00Yy00⎤⎦⎥(7)我们把 Γ−1 写成下面的形式：
Γ−1=[Γ11Γ21Γ12Γ22]称矩阵 Γ11 为弯曲能量矩阵，其秩为 N−3 。
Principal Warp是进一步对TPS进行分析的方法。看原论文[1]的介绍看的好艰辛，等后面如果再碰到的时候再总结。感兴趣的读者可以去阅读论文[1]或者书[2]的第12.3节。
假设对齐图片1到图片2。给定图片1和图片2中的已知landmark点，我们可以通过TPS得到由图片1的坐标到图片2的坐标的映射关系。遍历图片1中的每个点，我们可以得到它在图片2中应该对应的点，把图片1中每个点上的像素信息移到对应的图片2中去，就可以得到对准图片2之后的图片1。
但是图片1并不是所有的点都在图片2中有对应，比如：如果图片1中的点映射的横坐标和纵坐标都为负值这种情况。我不知道别人是怎么处理的，目前我是直接舍弃这样的点。
[1] F. L. Bookstein. Principal warps: Thin-plate splines and the decomposition of deformations. IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., 11(6):567–585, June 1989. [2] Ian L. Dryden and Kanti V. Mardia. [Statistical Shape Analysis: With Applications in R].（需要这本书电子版的读者请私信我） [3] Kent, J. T. and Mardia, K. V. (1994a). The link between kriging and thin-plate splines. In: Probability, Statistics and Optimization: a Tribute to Peter Whittle (ed. F. P. Kelly), pp 325–339. John Wiley & Sons, Ltd, Chichester. page 282, 287, 311
