局部加权线性回归（Locally Weighted Linear Regression） 算法背景： 现实生活中很多数据采用线性模型不能很好的描述，比如说房价预测的问题，直线不能很好的拟合所有的数据点，甚至存在较大的误差，我们可能采用一条类似于二次函数的曲线可以拟合的更好。但是为了解决在非线性模型里建立线性模组的问题，我们预测一点的值时，选择与这个点相近的点而不是所有的点做线性回归。基于此，产生了局部加权回归算法。 算法思想：

局部加权回归是基于非参数学习算法的思想，使得特征的选择更好。赋予预测点附近每一个点以一定的权值，在这上面基于波长函数来进行普通的线性回归.可以实现对临近点的精确拟合同时忽略那些距离较远的点的贡献，即近点的权值大，远点的权值小，k为波长参数，控制了权值随距离下降的速度，越大下降的越快。越小越精确并且太小可能出现过拟合的问题。

普通的线性回归函数使用的最小二乘法，即cost函数是

要使得J(Θ)最小化，求得线性回归参数

 

加入局部加权算法，cost函数变成了加权的cost函数，如下面的形式

其中w(i)是权重

同样可以求得线性回归参数Θ为下面的形式

 

在使用这个算法训练数据时，我们需要学习两类参数，线性回归的参数以及波长参数。

算法的缺点主要在于对于每一个需要预测的点，都要重新依据整个数据集模拟出一个线性回归模型出来，使得算法的代价极高。

代码实现python：

#coding=utf-8 #LocallyWeightedLinearRegression.py #局部加权线性回归算法的实现 #其中线性回归使用的最小二乘法,因此回归系数是 theta = (X.T* W * X).I * X.T *W * Y from numpy import * #加载数据 def load_data(fileName): numFeat = len(open(fileName).readline().split(',')) - 1 dataMat = []; labelMat = [] fr = open(fileName) for line in fr.readlines(): lineArr =[] curLine = line.strip().split(',') for i in range(numFeat): lineArr.append(float(curLine[i])) dataMat.append(lineArr) #实际数据集 labelMat.append(float(curLine[-1]))#实际数据标签值 return dataMat,labelMat # 对某一点计算估计值 def lwlr(testPoint, xArr, yArr, k = 1.0): xMat = mat(xArr); yMat = mat(yArr).T#矩阵化 m = shape(xMat)[0]#取得维度25 weights = mat(eye((m)))#eye生成对角矩阵,m*m for i in range(m): diffMat = testPoint - xMat[i, :]#计算测试点坐标和所有数据坐标的差值 #计算权值 w =exp（(-（xi-X）^2)/(2*k*k)） weights[i, i] = exp(diffMat * diffMat.T/(-2.0 * k**2)) # 计算权重对角矩阵 xTx = xMat.T * (weights * xMat) #对x值进行加权计算 # 奇异矩阵不能计算 if linalg.det(xTx) == 0.0: print('This Matrix is singular, cannot do inverse') return #theta = (X.T* W * X).I * X.T *W * Y theta = xTx.I * (xMat.T * (weights * yMat)) # 计算回归系数 ,对y加权 return testPoint * theta # 对所有点计算估计值 def lwlrTest(testArr, xArr, yArr, k = 1.0): m = shape(testArr)[0] yHat = zeros(m)#初始化预测值列表 for i in range(m): yHat[i] = lwlr(testArr[i], xArr, yArr, k) return yHat

#coding=utf-8 #测试局部加权线性回归算法 import matplotlib.pyplot as plt import LocallyWeightedLinearRegression as lwlr from numpy import * xArr, yArr = lwlr.load_data('ex2.txt') yHat = lwlr.lwlrTest(xArr, xArr, yArr, 0.1) xMat = mat(xArr) strInd = xMat[:, 1].argsort(0)#返回数据第二列从小到大的索引值 #xSort = xMat[strInd][:, 0, :]#返回第一列和第二列，根据上面索引顺序取出 xSort = xMat[strInd][:]#返回第一列和第二列，根据上面索引顺序取出,xSort为Xmat的另一个拷贝 fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(1, 1, 1) ax.plot(xSort[:, 1], yHat[strInd])#画出拟合的线 ax.scatter(xMat[:, 1].flatten().A[0], mat(yArr).T.flatten().A[0], s = 2, c = 'red')#画出实际点 plt.show()

使用k=0.1，数据拟合的最好：

使用k=0.01，数据存在过拟合的问题：

使用k=1.0,数据出现欠拟合的问题：

结论：当K=1.0时，出现了欠拟合的问题，根据公式，此时权重过大，下降太快，计算点太少，相当于所有的数据视为等权重，相当于普通的线性回归模型，当k=0.1时得到了很好的效果，当k=0.01时，出现了过拟合的问题，纳入了较多的噪音点，因此也不属于好的结果。