【杭电2824】欧拉函数

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Description

The Euler function phi is an important kind of function in number theory, (n) represents the amount of the numbers which are smaller than n and coprime to n, and this function has a lot of beautiful characteristics. Here comes a very easy question: suppose you are given a, b, try to calculate (a)+ (a+1)+....+ (b)  

Input

There are several test cases. Each line has two integers a, b (2<a<b<3000000).  

Output

Output the result of (a)+ (a+1)+....+ (b)  

Sample Input

3 100  

Sample Output

3042 解析：（转）

定义：对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目。

　　　　例如：φ(8)=4，因为1，3，5，7均和8互质。

性质：1.若p是质数，φ(p)= p-1.

　　　2.若n是质数p的k次幂，φ(n)=(p-1)*p^(k-1)。因为除了p的倍数都与n互质

　　　3.欧拉函数是积性函数，若m,n互质，φ(mn)= φ(m)φ(n).

　　根据这3条性质我们就可以推出一个整数的欧拉函数的公式。因为一个数总可以写成一些质数的乘积的形式。

　　E(k)=(p1-1)(p2-1)...(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))...(pi^(ai-1))

　　　　= k*(p1-1)(p2-1)...(pi-1)/(p1*p2*...*pi)

　　　　= k*(1-1/p1)*(1-1/p2)...(1-1/pk)

在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值（a为N的质因素）

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)则有：E(N)= E(N/a)*a;

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)则有：E(N)= E(N/a)*(a-1);

code：

#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; const int N=3000001; int prime[N],isprime[N],num[N]; void oula() { int t=0; for(int i=2;i<N;i++){ if(isprime[i]==0){//i是质数 prime[t++]=i; //记录 num[i]=i-1;//欧拉函数性质 } for(int j=0;j<t&&i*prime[j]<N;j++){ isprime[i*prime[j]]=1;//i*prime[j]相当于n,prime[j]是n的质因子 if(i%prime[j]==0) num[i*prime[j]]=num[i]*prime[j]; else num[i*prime[j]]=num[i]*(prime[j]-1); } } } int main() { int a,b; oula(); while(~scanf("%d%d",&a,&b)){ long long sum=0; for(int i=a;i<=b;i++) sum+=num[i]; printf("%lld\n",sum); } return 0; }