同余方程 (codevs1200)

题目描述×××

求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。

输入输出格式×××

输入格式：

 

输入只有一行，包含两个正整数 a, b，用一个空格隔开。

 

输出格式：

 

输出只有一行，包含一个正整数 x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

 

输入输出样例

输入样例#1： 3 10 输出样例#1： 7

说明

【数据范围】

对于 40%的数据，2 ≤b≤ 1,000；

对于 60%的数据，2 ≤b≤ 50,000,000；

对于 100%的数据，2 ≤a, b≤ 2,000,000,000。

NOIP 2012 提高组 第二天 第一题

 

思路：

这个题与扩展欧几里得求逆元有密切的联系

巧了，题目中的式子正是我们喜闻乐见的求逆元的形式a*x≡1(mod  m) 

x称为a关于模m的乘法逆元

我们可以将上面那个逆元的式子转化成这个样子

a*x+m*y=1

如果在x与m互质的情况下，这不就是一个扩展欧几里得的基本式子吗(gcd(a,m)=1），所以说，这又在gcd(a,m)=1的时候逆元才有整数解，直接套入扩展欧几里得，会得到一组 x, y，然后

x=x % m y=y % m

就能得到最小解了，因为这个式子:

x=x0+m*t y=y0+m*t   于是对于这个题，我们只需把这对特殊解x0求出来，然后向它加m直到x0>0 #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; void gcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(b==0) { x=1;y=0; return; } gcd(b,a%b,x,y); int temp=x; x=y; y=temp-(a/b)*y; return; } int main() { int a,b,x,y; scanf("%d%d",&a,&b); gcd(a,b,x,y); while(x<=0)x+=b; cout<<x; return 0; }