【JZOJ5051】平行宇宙 题解

题目大意

       有 n 个宇宙，每个宇宙都连出去一条单向边。边的长度都是 1。        现在要新加一些单向边（长度为 1），使得从 1 号节点出发到任意节点的最短路长度不超过 k。求最少加多少边。        n<=5e5， k<=2e4

题解

       它是个环套树（森林），那么树上的叶子节点肯定要跟 1 号节点连边。然后通过叶子往上推，树的部分就做完了。

       然后单独看每个环，问题变成：有一个环，其中有些点已经染过色了，你要用长度为 k 的链去染这个环，求最少的链数。

       把环破成链，倍长一下。我们枚举一个起点，从这个起点开始往后跳（即预处理一个 next 数组，表示第 i 个点往后走 k 步之后第一个没被染色的点是谁），跳到距离大于环长为止，跳的次数就是这个点的答案。        假设有 i< j 且 next[i]=next[j]，那么 j 跳到 next[j] 的时候，后面的事情跟 i 是一样的（当然 j 可能还要继续往后跳）。所以我们用并查集把跳过的缩起来，这样就可以保证每个点只会被跳一次了。

代码

#include<cstdio> #include<algorithm> #define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) #define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--) using namespace std; const int maxn=5e5+5; int n,K,ans; int tot,go[maxn],next[maxn],f1[maxn],fa[maxn]; void ins(int x,int y) { go[++tot]=y; next[tot]=f1[x]; f1[x]=tot; } int d[maxn],com[maxn]; bool roll[maxn]; void topo() { int j=0; fo(i,1,n) if (!com[i]) d[++j]=i; for(int i=1; i<=j; i++) { if (--com[fa[d[i]]]==0) d[++j]=fa[d[i]]; } fo(i,1,n) if (com[i]) roll[i]=1; } int tim[maxn]; bool bz[maxn]; void dfs(int k) { bz[k]=1; tim[k]=K+500; for(int p=f1[k]; p; p=next[p]) { dfs(go[p]); tim[k]=min(tim[k],tim[go[p]]+1); } if (k==1) tim[k]=0; else if (tim[k]>K && !roll[k]) { tim[k]=1; ans++; } } int ga[2*maxn],stp[2*maxn]; int get(int x) { if (ga[x]==x) return x; int t=ga[x]; ga[x]=get(ga[x]); stp[x]+=stp[t]; return ga[x]; } int c0,c[2*maxn],f[2*maxn]; // f 就是上面说的 next void calc(int x) { c[c0=1]=x; for(int i=fa[x]; i!=x; i=fa[i]) c[++c0]=i; fo(i,1,c0) c[c0+i]=c[i]; fo(i,1,c0) dfs(c[i]); fo(i,1,2*c0) tim[c[i]]=min(tim[c[i]],tim[c[i-1]]+1); fo(i,1,2*c0) ga[i]=i, stp[i]=0; fd(i,2*c0,2*c0-K+1) f[i]=2*c0+1; int last=2*c0+1; fd(i,2*c0,K+1) { if (tim[c[i]]>K) last=i; f[i-K]=last; } int nmin=n+500; fo(i,1,c0) if (tim[c[i]]>K) { int ans1=0, last=0; for(int j=i; j && j-i+1<=c0; j=f[j]) { int t2=get(j); ans1+=1+stp[j]; if (last) { int t1=get(last); ga[t1]=t2; stp[t1]+=stp[j]+1; } j=t2; last=j; } nmin=min(nmin,ans1); } ans+=(nmin==n+500) ?0 :nmin ; } int main() { scanf("%d %d",&n,&K); fo(i,1,n) { int x,y; scanf("%d %d",&x,&y); fa[x]=y; com[y]++; } topo(); fo(i,1,n) if (!roll[i]) ins(fa[i],i); fo(i,1,n) if (roll[i] && !bz[i]) calc(i); printf("%d\n",ans); }