代码先行,输入和函数实现分开了，便于复用代码，后面有背包九讲的解释
poj3624，这是一个超链接
下面代码中有行注释要求j从C自减到w[i]，若能理解这一点为啥子，有助于理解多重背包的二进制优化。
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include <iostream> #include <cstdio> #include <cmath> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <climits> #include <stack> #include <queue> #include <vector> #include <string> #include <map> #include <set> #include <algorithm> using namespace std; /*------default---------*/ const int maxn = 12881; int dp[maxn], w[maxn], v[maxn]; void ZeroOnePack(int C, int N, int W[], int V[]) { memset(dp, 0, C * sizeof (dp)); for (int i = 1; i <= N; ++i) //每次外层循环，决定选还是不选第i个物品 for (int j = C; j >= w[i]; --j) //一定要从C到w[i]，不然会有影响,单步可以看出来 dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]); } int main() { int n, c; while (~scanf("%d%d", &n, &c)) { for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d%d", w + i, v + i); ZeroOnePack(c, n, w, v); printf("%d\n", dp[c]); } return 0; }
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1 01背包问题 1.1 题目 有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。放入第 i 件物品耗费的空间是 C i ，得到 的价值是 W i 。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。 1.2 基本思路 这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不 放。 用子问题定义状态：即 F[i,v] 表示前 i 件物品恰放入一个容量为 v 的背包可以 获得的最大价值。则其状态转移方程便是： F[i,v] = max {F[i − 1,v],F[i − 1,v − C i ] + W i } 这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生 出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前 i 件物品放入容量为 v 的背包 中”这个子问题，若只考虑第 i 件物品的策略（放或不放），那么就可以转化 为一个只和前 i − 1 件物品相关的问题。如果不放第 i 件物品，那么问题就转化 为“前 i − 1 件物品放入容量为 v 的背包中”，价值为 F[i − 1,v] ；如果放第 i 件物 品，那么问题就转化为“前 i − 1 件物品放入剩下的容量为 v − C i 的背包中”， 此时能获得的最大价值就是 F[i − 1,v − C i ] 再加上通过放入第 i 件物品获得的价 值 W i 。 伪代码如下： F[0,0..V ] = 0 for i = 1 to N for v = C i to V F[i,v] = max {F[i − 1,v],F[i − 1,v − C i ] + W i } 1.3 优化空间复杂度 以上方法的时间和空间复杂度均为 O(V N) ，其中时间复杂度应该已经不能 再优化了，但空间复杂度却可以优化到 O(V ) 。 先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环 i = 1..N ，每次 算出来二维数组 F[i,0..V ] 的所有值。那么，如果只用一个数组 F[0..V ] ，能不 能保证第 i 次循环结束后 F[v] 中表示的就是我们定义的状态 F[i,v] 呢？ F[i,v] 是 由 F[i−1,v] 和 F[i−1,v −C i ] 两个子问题递推而来，能否保证在推 F[i,v] 时（也 即在第 i 次主循环中推 F[v] 时）能够取用 F[i − 1,v] 和 F[i − 1,v − C i ] 的值呢？事 实上，这要求在每次主循环中我们以 v = V..0 的递减顺序计算 F[v] ，这样才能保 证推 F[v] 时 F[v − C i ] 保存的是状态 F[i − 1,v − C i] 的值。伪代码如下： F[0..V ] = 0 for i = 1 to N for v = V to C i F[v] = max {F[v],F[v − C i ] + W i } 其中的 F[v] = max {F[v],F[v − C i ] + W i } 一句，恰就对应于我们原来的转移方 程，因为现在的 F[v − C i ] 就相当于原来的 F[i − 1,v − C i ] 。如果将 v 的循环顺序 从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了 F[i,v] 由 F[i,v −C i ] 推导得到，与本题 意不符。 事实上，使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到，所以这里抽象 出一个处理一件01背包中的物品过程，以后的代码中直接调用不加说明。 def ZeroOnePack( F,C,W ) for v = V to C F[v] = max (F[v],f[v − C] + W) 有了这个过程以后，01背包问题的伪代码就可以这样写： for i = 1 to N ZeroOnePack( F,C i ,W i ) 1.4 初始化的细节问题 我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。 有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背 包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。 如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了 F[0] 为 0 ，其 它 F[1..V ] 均设为 −∞ ，这样就可以保证最终得到的 F[V ] 是一种恰好装满背包的 最优解。 如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该 将 F[0..V ] 全部设为 0 。 这是为什么呢？可以这样理解：初始化的 F 数组事实上就是在没有任何物 品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量 为 0 的背包可以在什么也不装且价值为 0 的情况下被“恰好装满”，其它容量的 背包均没有合法的解，属于未定义的状态，应该被赋值为-∞了。如果背包并非 必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的 价值为 0 ，所以初始时状态的值也就全部为 0 了。 这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状 态转移之前的初始化进行讲解。 1.5 一个常数优化 上面伪代码中的 for i = 1 to N for v = V to C i 中第二重循环的下限可以改进。它可以被优化为 for i = 1 to N for v = V to max (V − Σ N i W i ,C i ) 这个优化之所以成立的原因请读者自己思考。（提示：使用二维的转移方程思 考较易。） 1.6 小结 01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最 基本思想。另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故 一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及空间复 杂度怎样被优化。
