BZOJ 1101: [POI2007]Zap 莫比乌斯反演

    xiaoxiao2021-04-17  38

    1101: [POI2007]Zap

    Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB Submit: 2504  Solved: 1033 [Submit][Status][Discuss]

    Description

      FGD正在破解一段密码,他需要回答很多类似的问题:对于给定的整数a,b和d,有多少正整数对x,y,满足x<=a ,y<=b,并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学,FGD希望得到你的帮助。

    Input

      第一行包含一个正整数n,表示一共有n组询问。(1<=n<= 50000)接下来n行,每行表示一个询问,每行三个 正整数,分别为a,b,d。(1<=d<=a,b<=50000)

    Output

      对于每组询问,输出到输出文件zap.out一个正整数,表示满足条件的整数对数。

    Sample Input

    2 4 5 2 6 4 3

    Sample Output

    3 2 //对于第一组询问,满足条件的整数对有(2,2),(2,4),(4,2)。对于第二组询问,满足条件的整数对有( 6,3),(3,3)。

    已知ans=i=1nj=1m[gcd(i,j)=k]

    N=nk,M=mk

    则答案为ans=i=1Nj=1M[gcd(i,j)==1]

    由莫比乌斯函数性质d|nμ(d)

    只有在n==1时为1,其他时为0

    所以式子可化为ans=i=1Nj=1Md|gcd(i,j)μ(d)

    看起来式子变麻烦了

    实际上是为化简提供方便

    可得ans=d=1Nμ(d)NdMd

    又由N/d程阶梯式递减

    所以可以把复杂度卡到O(sqrt(n))

    #include<cmath> #include<ctime> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #include<iomanip> #include<vector> #include<string> #include<queue> #include<set> #include<map> using namespace std; inline int read() { int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch<='9'&&ch>='0'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();} return f*x; } const int N=50100; int cnt,d,mobius[N],sum[N],prime[N]; bool book[N]; void initial() { mobius[1]=1; for(int i=2;i<=N;i++) { if(!book[i]){prime[++cnt]=i;mobius[i]=-1;} for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=N;j++) { book[i*prime[j]]=1; if(i%prime[j]==0){mobius[i*prime[j]]=0;break;} else mobius[i*prime[j]]=-mobius[i]; } } for(int i=1;i<=N;i++)sum[i]=sum[i-1]+mobius[i]; } inline int work(int x,int y) { if(x>y)swap(x,y);int pos,ans=0;x/=d;y/=d; for(int i=1;i<=x;i=pos+1) { pos=min(x/(x/i),y/(y/i)); ans+=(sum[pos]-sum[i-1])*(x/i)*(y/i); } return ans; } int main() { int n,m,k;k=read();initial(); while(k--) { n=read();m=read();d=read(); printf("%d\n",work(n,m)); } }

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